• Anwendung - Schnittpunkt von Funktionen
  • pawlowski-yahja
  • 21.07.2020
  • Mathematik
  • Funktionen
  • R (Regelstandard)
  • 8
  • Einzelarbeit
  • Arbeitsblatt
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1
Zwei Autos fahren auf einer Rennstrecke.
Auto 1 fährt immer gleichmäßig 245 km/h.
Auto 2 hat einen Vorsprung von 2,5 km und fährt aber konstant nur 195 km/h.

a) Erstelle die passenden Funktionsgleichungen (1) und (2).

b) Berechne den Schnittpunkt der beiden Gleichungen.

c) Beschreibe in deinen Worten, was das Ergebnis aussagt. (Wahrscheinlich ist es sinnvoll, die Zeitangabe in Minuten umzurechnen.)
Lösung1
a) Die beiden Funktionsgleichungen lauten:
(1) y = 245x
(2) y = 195x +2,5



b) Um den x-Wert des Schnittpunktes herauszufinden, werden die Gleichungen gleichgesetzt und nach x aufgelöst:
(1)=(2)
245x = 195x+2,5 |-195x
50x = 2,5 |:50
x = 0,05

Beim gefundenen x-Wert schneiden sich also die Funktionen. Um den y-Wert an dieser Stelle zu ermitteln, muss man x in eine der Gleichungen einsetzen:
x in (1):
y = 245⋅0,05 = 12,25

Der Schnittpunkt ist also S (0,05|12,25)



c) Der gefundene Schnittpunkt besagt, dass nach 0,05 Stunden beide Autos 12,25 km vom Anfangspunkt entfernt sind.
Wenn man die Stunden in Minuten umrechnet (0,05 h ⋅ 60 min/h = 3 min), kann man sagen:
Nach 3 min hat Auto 1 das andere Auto eingeholt.

Wenn ein Fahrzeug gleichmäßig
70 km/h fährt, zeigt die Gleichung
y = 70x
an, wie groß die zurückgelegte Wegstrecke y nach x Stunden ist.


Der Graph der Funktion y=70x verläuft durch den Punkt P (2|140).
Das bedeutet, dass das Fahrzeug nach 2 Stunden ...

2
Zwei große Wannen werden mit Wasser gefüllt. In Wanne 1 sind schon 30,25 Liter drin, in Wanne 2 erst 14,5 Liter. Wasserhahn 1 bringt 15 Liter pro Minute, Wasserhahn 2 liefert 18,5 Liter pro Minute. Wann sind beide Wannen gleich voll? Wie viel Wasser enthalten sie dann jeweils?
3
Peters Tennisverein kostet im Monat 25 € und verlangt eine Anmeldegebühr von 150 €. Der Verein von Cem verlangt monatlich 31 €, aber die einmalige Anmeldegebühr beträgt nur 50 €. Wann zahlt Peter weniger, wann Cem?
Lösung2
Aufstellen von zwei Gleichungen
und Ermittlung von Schnittpunkt S:

(1) y = 15x + 30,25
(2) y = 18,5x + 14,5

(1)=(2)
15x + 30,25 = 18,5x +14,5 |-14,5
15x +15,75 = 18,5x | -15x
15,75 = 3,5x |:3,5
4,5 = x
x = 4,5

x in (1):
y = 15⋅4,5 + 30,25
y = 97,75

Schnittpunkt S (4,5|97,75)

Antwortsatz: Die Wannen sind nach 4,5 Minuten gleich voll. Jede einzelne enthält dann 97,75 Liter Wasser.
Lösung3
Zwei Gleichungen aufstellen und den Schnittpunkt berechnen:

(1) y = 25x + 150
(2) y = 32x + 31

(1)=(2)
25x + 150 = 32x + 31 |-31
25x +119 = 32x | -25x
119 = 7x |:7
x = 17

x in (1):
y = 25⋅17 + 70
y = 495

Schnittpunkt S (17|495)

Antwortsatz: Nach 17 Monaten haben beide in ihrem Verein 495 € gezahlt (17 Monatsbeiträge und 1 mal Anmeldegebühr). Das bedeutet bei einer Mitgliedschaft bis zum 16. Monat zahlt Cem weniger, aber ab dem 18. Monat ist der Verein von Peter billiger, weil dann nur die günstigere Monatsgebühr dazu kommt.