• Anwendungsaufgaben Pythagoras
  • Deliah Herbstritt
  • 21.07.2020
  • Mathematik
  • Flächen
  • R (Regelstandard)
  • 9
  • Einzelarbeit
  • Arbeitsblatt
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1
Azubi Peter soll im Auftrag seiner Firma Bleistifte als Werbegeschenke verschicken. Diese sollen in Boxen mit der Länge 12 cm, der Breite 9 cm und der Höhe 4 cm verpackt werden.

Welche Länge dürfen die Bleistifte höchstens haben?
Lösung1
Flächendiagonale:
f2=(12cm)2+(9cm)2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f^2= (12cm)^2 + (9cm)^2
f2=144cm+81cm\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f^2= 144cm + 81cm
f2=225cm\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f^2= 225cm
f=225cm=15cm\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f = \sqrt{225cm} = 15cm

Antwort: Die Bleistifte dürfen höchstens 15,52cm lang sein.
Raumdiagonale:
d2=(15cm)2+(4cm)2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} d^2= (15cm)^2 + (4cm)^2
d2=225cm+16cm\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} d^2= 225cm + 16cm
d2=241cm\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} d^2 = 241cm
d=241cm15,52cm\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} d = \sqrt{241cm} \approx15{,}52cm

2
Herr Würth hat einen Steinquader mit der Länge 5 m, der Breite 0,5 m und der Höhe 0,7 m in seinem Garten.
Da er gerade mit seiner Enkelin den Satz des Pythagoras geübt hat, beginnt er die Grundflächendiagonale und die Raumdiagonale des Steinquaders zu berechnen.
Kannst du das auch?

Berechne die Diagonalen und fertige gegebenenfalls eine Skizze an.

Lösung2
Grundflächendiagonale:
f2=a2+b2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f^2 = a^2 + b^2
f2=(5m)2+(0,5m)2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f^2 = (5m)^2 + (0{,}5m)^2
f2=25m+0,25m\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f^2 = 25m\,+ 0{,}25m
f2=25,25m\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f^2 = 25{,}25m
f=25,25m5,02m\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f = \sqrt{25{,}25m} \approx5{,}02m

Antwort: Die Grundflächendiagonale misst 5,02m und die Raumdiagonale 5,07m.
Raumdiagonale:
d2=f2+h2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} d^2 = f^2 + h^2
d2=25,25m+(0,7m)2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} d^2 = 25{,}25m + (0{,}7m)^2
d2=25,25m+0,49m\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} d^2 = 25{,}25m \,+ 0{,}49m
d2=25,74m\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} d^2 = 25{,}74m
d=25,74cm5,07m\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} d = \sqrt{25{,}74cm} \approx 5{,}07m
3
Das Dach einer Kirche hat die Form einer quadratischen Pyramide mit einer Seitenlänge von 9 m und einer Höhe von 7 m. Es soll neu eingedeckt werden.

Berechne die gesamte Dachfläche. Die Abbildungen können dir helfen!
Lösung3
Flächendiagonale:
f2=(9m)2+(9m)2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f^2 = (9m)^2 + (9m)^2
f2=81m+81m\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f^2 = 81m + 81m
f2=162m\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f^2 = 162m
f=162m12,73m\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f = \sqrt{162m} \approx 12{,}73m

Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit der Hypotenuse a als AB\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overline{AB}. Eine Kathete ist die Hälfte von f, also 12,73m : 2 \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \approx 6,37m, die andere ist die Höhe.

Seitenkante a:
a2=(7m)2+(6,37m)2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a^2 = (7m)^2 + (6{,}37m)^2
a2=49m+40,58m\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a^2 = 49m + 40{,}58m
a2=89,58m\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a^2 = 89{,}58m
a=89,58m9,46m\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a = \sqrt{89{,}58m} \approx 9{,}46m

Um die Höhe einer Dreiecksfläche berechnen zu können, teilt man z.B. das Dreieck ABI in zwei Hälften, so dass zwei rechtwinklige Dreiecke entstehen.
Die Hypotenuse ist die Strecke AB\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overline{AB}, also 9,46m, eine der Kathete ist die Hälfte von c, also 9m : 2 = 4,5m.

(9,46m)2=(4,5m)2+h2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} (9{,}46m)^2 = (4{,}5m)^2 + h^2 |(4,5m)2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} -(4{,}5m)^2
h2=(9,46m)2(4,5m)2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h^2 = (9{,}46m)^2-(4{,}5m)^2
h2=89,49m20,25m\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h^2 = 89{,}49m - 20{,}25m
h2=69,24m\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h^2 = 69{,}24m
h=69,24m\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h = \sqrt{69{,}24m}
h8,32m\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h \approx 8{,}32m
Nun kann die Dreiecksfläche berechnet werden:
AD=12gh\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A_D = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h
AD=129m8,32m\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A_D = \frac{1}{2} \cdot 9m \cdot 8{,}32m
AD=37,44m2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A_D=37{,}44m^2
Diese Fläche gibt es vier mal, also:
37,44m24=149,76m2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 37{,}44m^2 \cdot 4 = 149{,}76m^2

Antwort: Die gesamte Dachfläche beträgt ca. 149,76m2.

  Pyramide (Dach der Kirche)

  Hälfte der Pyramide