• Herleitung der Zinseszinsformel
  • Stüer
  • 21.07.2020
  • Mathematik
  • Prozente und Zinsen
  • E
  • 9
  • Einzelarbeit
  • Information
Um die Lizenzinformationen zu sehen, klicken Sie bitte den gewünschten Inhalt an.
  • Begriffe

    K0 = Kapital zu Beginn des ersten Jahres
    p% = Jahreszinssatz in Prozent (bei Rechnung jedoch ohne Prozentzeichen!)
    n = Anzahl der Jahre, für die das Kapital verzinst wird
    1
    Legt man ein Kapital (K0) für einen Jahreszinssatz (p) auf der Bank an, so erhält man folgende Zinsen (Z). Ausgedrückt in einer Formel bedeutet dies:
    Z=K0p100\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} Z= K_0\cdot \frac{p}{100}
    Beispiel:
    Z=100,002100\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} Z= 100{,}00\,€\,\cdot \frac{2}{100}
    Z=2,00\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} Z= 2{,}00\,€
    2
    Man erhält somit 2 € Zinsen nach einem Jahr. Insgesamt hast du also:
    K1=K0+K0p100\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_1= K_0+ K_0\cdot \frac{p}{100}
    K1=K0(1+p100)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_1= K_0\cdot (1+ \frac{p}{100})
    Beispiel:
    K1=100,00+100,002100\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_1= 100{,}00\,€\,+ 100{,}00\,€\,\cdot \frac{2}{100}
    K1=100,00(1+2100)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_1= 100{,}00\,€\,\cdot (1+\frac{2}{100})
    K1=102,00\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_1= 102{,}00\,€\,
    3
    Nun das gleiche für das nächste Jahr (jetzt hast du schon 102€ Kapital zu Beginn des 2. Jahres):
    K2=K1(1+p100)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_2= K_1\cdot (1+ \frac{p}{100})
    Beispiel:
    K2=102,00(1+2100)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_2= 102{,}00\,€\,\cdot (1+\frac{2}{100})
    K2=104,04\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_2= 104{,}04\,€
    4
    Jetzt setzen wir für K1 die Formel aus Schritt 2 ein. Demnach gilt:
    K2=K1(1+p100)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_2= K_1\cdot (1+\frac{p}{100})
    K2=K(1+p100)(1+p100)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_2= K\cdot (1+\frac{p}{100})\cdot (1+\frac{p}{100})
    Beispiel:
    K2=102,00(1+2100)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_2= 102{,}00\,€\,\cdot (1+\frac{2}{100})
    K2=100,00(1+2100)(1+2100)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_2= 100{,}00\,€\,\cdot (1+\frac{2}{100})\cdot (1+\frac{2}{100})
    5
    Dies kann man für beliebige Folgejahre fortsetzen:
    K3=K0(1+p100)(1+p100)(1+p100)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_3= K_0\cdot (1+\frac{p}{100})\cdot (1+\frac{p}{100})\cdot (1+\frac{p}{100})
    K3=K0(1+p100)3\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_3= K_0\cdot (1+\frac{p}{100})^{3}
    Beispiel:
    K3=100,00(1+2100)3\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_3= 100{,}00\,€\,\cdot (1+\frac{2}{100})^{3}
    K3=106,12\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_3= 106{,}12\,€\,
    6
    Vereinfacht ausgedrückt ergibt sich folgende allgemeingültige Formel für n-Jahre:

    Kn=K0(1+p100)n\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_n= K_0\cdot (1+\frac{p}{100})^{n}