Den De­fi­ni­ti­ons­be­reich einer Funk­ti­on oder eines Terms be­stimmt man, indem man un­ter­sucht, ob ein­zel­ne Teile des (Funk­ti­ons)terms für be­stimm­te Zah­len­be­rei­che nicht de­fi­niert sind. Zah­len aus die­sen Be­rei­chen muss man aus der De­fi­ni­ti­ons­men­ge her­aus­neh­men.





Bei­spiel 1:



$f(x)=\frac{1}{x}$



Merke: Du darfst nicht durch Null di­vi­die­ren.



Hier darf für x also nicht Null ein­ge­setzt wer­den.



Der De­fi­ni­ti­ons­be­reich ist dem­zu­fol­ge:



$D_f=x\in \mathbb{R}|x\ne 0$

Bei­spiel 2:



$f(x)=\frac{4x-3}{2x-5}$



Merke: Du darfst nicht durch Null di­vi­die­ren.



Das be­deu­tet, der Nen­ner des Bru­ches darf nicht Null wer­den. Setze hier­zu den Nen­ner auf Null, und stel­le nach x um:



$2x-5=0$ | + 5

$2x=5$ | : 2

$x=\frac{5}{2}$



Der De­fi­ni­ti­ons­be­reich ist dem­zu­fol­ge:



$D_f=x\in \mathbb{R}|x\ne \frac{5}{2}$

Bei­spiel 3:



$f(x)=2^x$



Es kön­nen alle x-​Werte ein­ge­setzt wer­den.



Der De­fi­ni­ti­ons­be­reich ist dem­zu­fol­ge:



$D_f=x\in \mathbb{R}$

Der Wer­te­be­reich einer qua­dra­ti­schen Funk­ti­on gibt alle mög­li­chen y-​Werte an, die die Funk­ti­on an­neh­men kann.





Bei­spiel 1:



$f(x)=\frac{1}{x}$



Merke: Prüfe, wel­che y-​Werte (=Funk­ti­ons­wer­te) der Graph der Funk­ti­on an­neh­men kann.



Der Wer­te­be­riech ist dem­zu­fol­ge:



$W_f=y\in \mathbb{R}|y\ne 0$

Bei­spiel 2:



$f(x)=x^2+1$



Merke: Prüfe, wel­che y-​Werte (=Funk­ti­ons­wer­te) der Graph der Funk­ti­on an­neh­men kann.



Lö­sung: Der Schei­tel­punkt ist ein Tief­punkt. Der Graph kann also alle y-​Werte an­neh­men, die grö­ßer / gleich 1 sind.



Der Wer­te­be­reich ist dem­zu­fol­ge:



$W_f=y\in \mathbb{R}|y\ge 0$

Bei­spiel 3:



$f(x)=2^x$



Der Graph der Funk­ti­on nimmt nur po­si­ti­ve y-​Werte an.



Der Wer­te­be­reich ist dem­zu­fol­ge:



$W_f=y\in \mathbb{R}|y>0$