Wieso kommt eigentlich mit einem Sphärometer eine andere Stärke des Brillenglases raus als mit dem automatischen Scheitelbrechwertmessgerät?

Krümmungsradien und Gesamtbrechwert

Das Sphärometer misst nicht die Dioptrien eines Brillenglases, sondern den Vorderflächenradius r₁und den Rückflächenradius r₂.

Mit diesen Radien und den entsprechenden Brechzahlen wird anschließend der Vorderflächenbrechwert D₁ und der Rückflächenbrechwert D₂ berechnet.

Anschließend kann mithilfe der Gullstrandformel der Gesamtbrechwert D berechnet werden:

D = D_{1} + D_{2} - \frac{d}{n ´ _{1}} \cdot D_{1} \cdot D_{2}

Wer ist dieser Gullstrand?

Der schwedische Augenarzt Allvar Gullstrand führte ab 1890 Studien über den Astigmatismus und andere Fehlsichtigkeiten durch und erhielt sogar für seine Forschungen zur Dioptrik 1911 den Nobelpreis für Physiologie oder Medizin.

D_{2} = \frac{n ´ _{2} - n _{2}}{r _{2}}

D_{1} = \frac{n ´ _{1} - n _{1}}{r _{1}}

Vorsicht

Alle metrische Angaben müssen in Meter umgerechnet werden, um sie mit Dioptrien verrechnen zu können.

Grundsätzlich gilt:

$d pt = \frac{1}{m} \leftrightarrow m = \frac{1}{d pt}$

Formelbuchstabe

Bezeichnung

Einheit

D

D₁

D₂

d

n´₁

n₁

r₁

n´₂

n₂

r₂

1

Anleitung: Wie zeichne ich eine Linse?

Vorderfläche:

Ich stelle den Zirkel nach der Angabe des ein, zeichne einen Halbkreis und markiere mir den Kreismittelpunkt der Vorderfläche mit .
Ist der Vorderflächenradius , steche ich weiter rechts ein als ich zeichne. Ist der Vorderflächenradius , steche ich weiter links ein als ich zeichne.
Ich trage mir den Scheitelpunkt der Vorderfläche an dem Schnittpunkt der zur optischen Achse ein.

Mittendicke:

Ich trage mir den Scheitelpunkt der Rückfläche rechts zu S₁ ein. Der Abstand wird durch die d vorgegeben.

Rückfläche

Ich stelle den Zirkel nach der Angabe des ein.
Die Bleistiftspitze des Zirkels lege ich auf den Punkt S₂ und mit der Metallspitze steche ich auf der optischen Achse ein.
Ist der Rückflächenradius , steche ich weiter rechts ein als ich zeichne. Ist der Rückflächenradius , steche ich weiter links ein als ich zeichne.

Strecken

Ich zeichne den Vorderflächenradius mit einem Pfeil von der zum Punkt C₁ ein. Dabei zeigt die Pfeilspitze auf den Kreismittelpunkt der Vorderfläche.
Ich zeichne den Rückflächenradius mit einem Pfeil von der Rückfläche zum Punkt C₂ ein. Dabei zeigt die Pfeilspitze auf den
Die d trage ich mithilfe von Hilfslinien ein. Diese stehen senkrecht zur optischen Achse auf der Höhe von und . Die Mittendicke ist der Abstand zwischen den Hilfslinien und wird als Pfeil mit Spitzen in beide Richtungen gezeichnet.

2

Berechne den Gesamtbrechwert und zeichne folgende Linse.

r₁= +4cm r₂= -5cm d=3cm n= 1,5

Beim einzeichnen der Radien ist zu beachten, dass...

r₁ von der Vorderfläche zu C₁ verläuft (mit der Pfeilspitze zu C₁)
r₂ von der Rückfläche zu C₂ verläuft (mit der Pfeilspitze zu C₂)

3

Besonderheit: dünne Linse

Berechne den Gesamtbrechwert folgender Linse.
r₁=+6cm r₂=-4cm d=0,0005cm n=1,5

Hauptebenen und Hauptebenenlagen

Die vordere Hauptebene H und die hintere Hauptebene H´ sind mathematische Ersatzflächen zur Brechung und Berechnung des Lichts. Sie werden im rechten Winkel auf der optischen Achse erzeugt. Der Abstand vom Scheitelpunkt der Vorderfläche S₁ bzw. dem Scheitelpunkt der Rückfläche S₂ wird festgelegt durch die Lage der vorderen Haupteben h bzw. durch die Lage der hinteren Hauptebene h´.

Vorsicht

Bei der Formel zu h´ wird sehr gerne das Minus vergessen!

h = \frac{n _{1} \cdot d \cdot D _{2}}{n ´ _{1} \cdot D}

h ´ = - \frac{n ´ _{2} \cdot d \cdot D _{1}}{n _{2} \cdot D}

Formelbuchstabe

Bezeichnung

Einheit

H

H´

h

h´

S₁

S₂

C₁

C₂

4

Berechne die Lagen der Hauptebenen folgender Linse. Zeichne anschließend das Brillenglas mit allen Strecken und Punkten einschließlich den Hauptebenen.
r₁=+6cm r₂=-4cm d=5cm n=1,5

Brennweiten und Brennpunkte

Der Punkt, indem bei einem sphärischen Brillenglas die Lichtstrahlen gesammelt werden ist immer der bildseitige Brennpunkt F´. Bildseitig daher, da dieser Punkt i.d.R. dem Bild zugewandt ist. Dies gilt jedoch nur bei Konvexlinsen. Das führt dazu, dass bei Konkavlinsen der objektseitige Brennpunkt F rechts bzw. hinter der bildseitigen Hauptebene H´ und der bildseitige Brennpunkt F´ links bzw. vor der objektseitigen Hauptebene H liegt.

Die Lage der Brennpunkte F und F´ sind abhängig von ihrer entsprechenden objektseitigen Brennweite f bzw. der bildseitigen Brennweite f´.

Hilfestellung

Da die Brennweiten gleich lang sind, gilt:

$f = - f ´$ bzw. $f ´ = - f$

f ´ = \frac{n ´ _{2}}{D}

f = - \frac{n _{1}}{D}

Formelbuchstabe

Bezeichnung

Einheit

F´

F

f´

f

Merke:

Bei einer Pluslinse ist der bildseitige Brennpunkt F´ den Hauptebenen (rechts). Die bildseitige Brennweite geht somit mit der Lichtrichtung und ist . Der Gesamtbrechwert ist ebenfalls .
Bei einer Minuslinse ist der bildseitige Brennpunkt F´ den Hauptebenen (links). Die bildseitige Brennweite geht somit gegen die Lichtrichtung und ist . Der Gesamtbrechwert ist ebenfalls .

5

Berechne die Brennweiten folgender Linse. Zeichne anschließend das Brillenglas mit allen Strecken und Punkten einschließlich den Brennpunkten.
r₁=+4cm r₂=+1cm d=1cm n=1,5

Beim Einzeichnen der Brennweiten ist zu beachten, dass...

> f von der H zu F verläuft (mit der Pfeilspitze zu F)

> f´ von H´ zu F´ verläuft (mit der Pfeilspitze zu F´)

Schnittweiten und Scheitelbrechwert

Die Brennpunkte lassen sich ebenso über die Abstände zu den jeweiligen Scheitelpunkten. Diese Abstände heißen objektseitige Schnittweite s und bildseitige Schnittweite s´.

Die Schnittweiten bestimmen dabei den objektseitigen Scheitelbrechwert bzw. den bildseitigen Scheitelbrechwert in den Scheitelpunkten. Diesen Brechwert ermittelt das Scheitelbrechwertmessgerät (SBMG).

s = f + h

S = - \frac{1}{s}

s ´ = f ´ + h ´

S ´ = \frac{1}{s ´}

Formelbuchstabe

Bezeichnung

Einheit

s

s´

S´

S

6

Berechne die Scheitelbrechwerte folgender Linse. Zeichne anschließend das Brillenglas mit allen Strecken und Punkten einschließlich den Schnittweiten.
r₁=+8cm r₂=+2cm d=1cm n=1,5

Formelbuchstabe

Bezeichnung

Einheit

D

D₁

D₂

d

r1

r2

n´1

n1

n´2

n2

C1

C2

S1

S2

H

H´

h

h´

F

F´

f

f´

s

s´

S

S´

Krüm­mungs­ra­di­en und Ge­samt­brech­wert

Haupt­ebe­nen und Haupt­ebe­nen­la­gen

Brenn­wei­ten und Brenn­punk­te

Schnitt­wei­ten und Schei­tel­brech­wert

Krümmungsradien und Gesamtbrechwert

Hauptebenen und Hauptebenenlagen

Brennweiten und Brennpunkte

Schnittweiten und Scheitelbrechwert