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Wie­der­ho­lung: Funk­ti­ons­be­griff

Funk­ti­o­nen las­sen sich am bes­ten mit so ge­nann­ten Funk­ti­ons­ma­schi­nen ver­ste­hen. Ihr gebt oben eine Zahl in die Ma­schi­ne aus und je nach Pro­duk­ti­ons­pro­gramm (=Funk­ti­ons­glei­chung) spuckt die Ma­schi­ne unten eine Zahl bzw. einen Wert aus.





Im dar­ge­stell­ten Bei­spiel gebe ich die Zahl 2 in die Ma­schi­ne. Die Ma­schi­ne nimmt die Zahl 2 und wen­det dar­auf ihr "Pro­duk­ti­ons­pro­gramm an, d.h.  mit . An­stel­le von  schreibt man dann , also .



Als Er­geb­nis spuckt die Ma­schi­ne also die Zahl 6 aus.



Pro­biert die Ma­schi­ne selbst ein­mal aus:

Was ist eine Funk­ti­on?

Eine Funk­ti­on ord­net einer Zahl einen ein­deu­ti­gen Funk­ti­ons­wert (lies: f von x) zu. So ent­ste­hen Wer­te­paa­re, die als Punk­te in ein Ko­or­di­na­ten­sys­tem ein­ge­tra­gen wer­den kön­nen. Eine Linie, die alle Punk­te einer Funk­ti­on mit­ein­an­der ver­bin­det, nennt sich Graph einer Funk­ti­on. An­stel­le von und kön­nen auch an­de­re Be­zeich­nun­gen ge­nutzt wer­den wie .

−3−2−1123x−1123yoriginO
f(x)
−3−2−1123x−1123yoriginO
f(x)
−3−2−1123x−1123yoriginO−3−2−1123x−1123yoriginO

Die Ab­bil­dung zeigt den Gra­phen einer Funk­ti­on.

Ein Kreis ist keine Funk­ti­on.

Die linke Ab­bil­dung zeigt die Funk­ti­on . Die rech­te Ab­bil­dung zeigt hin­ge­gen keine Funk­ti­on. Dem Wert  wird in dem Kreis so­wohl der Wert  als auch der Wert  zu­ge­ord­net. Das wi­der­spricht der Vor­ga­be, dass bei einer Funk­ti­on einer Zahl  nur ein ein­deu­ti­ger Funk­ti­ons­wert  zu­ge­ord­net wird.

Wie wird ein Funk­ti­ons­wert be­rech­net?

Um einen Funk­ti­ons­wert zu be­rech­nen, wird der Wert der Zahl in die Funk­ti­ons­glei­chung ein­ge­setzt.

Bei­spiel­auf­ga­be

Be­stim­me für die Funk­ti­on den Funk­ti­ons­wert für .

Re­chen­weg

Wie wird eine Funk­ti­on ge­zeich­net?

Um eine Funk­ti­on zu zeich­nen, ist es hilf­reich, eine Wer­te­ta­bel­le zu er­stel­len. Dafür wer­den be­lie­bi­ge Werte in die Funk­ti­on ein­ge­setzt, um ihren Funk­ti­ons­wert zu be­stim­men. Es soll­ten immer aus­rei­chend Funk­ti­ons­wer­te be­stimmt wer­den, so­dass der Ver­lauf des Gra­phen ab­ge­schätzt wer­den kann.

Bei­spiel­auf­ga­be

Zeich­ne den Gra­phen der Funk­ti­on .

Re­chen­weg



−3−2−1123x−2−1123yoriginO
f(x)
−3−2−1123x−2−1123yoriginO
f(x)

-3

-18

-2

-2

-1

2

0

0

1

-2

2

2

3

18

Stel­le oder Punkt?

Wenn nach einer Stel­le ge­fragt wird, ist damit nur ein -Wert ge­meint. Bei einem Punkt müs­sen hin­ge­gen und an­ge­ge­ben wer­den.

Wie lässt sich der Ver­lauf einer Funk­ti­on be­schrei­ben?

Um den Ver­lauf einer Funk­ti­on zu be­schrei­ben, kann an­ge­ge­ben wer­den, in wel­chen Be­rei­chen sie steigt oder fällt. Oft­mals wer­den be­son­de­re Stel­len oder Punk­te einer Funk­ti­on be­stimmt wie der Schnitt­punkt mit der -​Achse oder die Null­stel­len. Null­stel­len sind alle Stel­len, an denen die -​Achse ge­schnit­ten oder be­rührt wird.

x