TitelEigenschaften von Funktionen
AutorRobert.klonner
veröffentlicht28.10.2025
FachMathematik
KompetenzbereichFunktionen
NiveaustufeM (Mindeststandard)
Phase9
MaterialformInputmaterial

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Wiederholung: Funktionsbegriff

Funktionen lassen sich am besten mit so genannten Funktionsmaschinen verstehen. Ihr gebt oben eine Zahl in die Maschine aus und je nach Produktionsprogramm (=Funktionsgleichung) spuckt die Maschine unten eine Zahl bzw. einen Wert aus.

Im dargestellten Beispiel gebe ich die Zahl 2 in die Maschine. Die Maschine nimmt die Zahl 2 und wendet darauf ihr Produktionsprogramm an, d.h. $f (x) = x + 4$ mit $x = 2$ . Anstelle von $f (x)$ schreibt man dann $f (2)$ (sprich f von 2"), also $f (2) = 2 + 4 = 6$ .

Als Ergebnis spuckt die Maschine also die Zahl 6 aus.

Probiert die Maschine selbst einmal aus:

Funktionsmaschine

Merke

Eine Funktion ordnet einer ersten Größe eine zweite Größe eindeutig zu.

Funktionen können mit Worten beschrieben oder durch

eine Wertetabelle, ein Schaubild oder eine Funktionsgleichung dargestellt werden.

Beispiel

Worte: Ein Kilo Äpfel kostet 2,00 €.

Wertetabelle:

Schaubild:

Funktionsgleichung:

Eine Gleichung

y = m · x

ist eine

proportionale

Funktion, da sie durch den

Koordinaten-ursprung (0|0)

geht.

Frage

Wie viel kostet 6 Kilogramm Äpfel?

Lösung

y = 2 x

Merke:

„Pro Portion Äpfel steigt also der Gesamtpreis.“

Daher wird der Faktor vor dem x auch „Steigung“ genannt.

Was ist eine Funktion?

Eine Funktion $f$ ordnet einer Zahl $x$ einen eindeutigen Funktionswert $f (x)$ (lies: f von x) zu. So entstehen Wertepaare, die als Punkte $P (x ∣ f (x))$ in ein Koordinatensystem eingetragen werden können. Eine Linie, die alle Punkte einer Funktion miteinander verbindet, nennt sich Graph einer Funktion. Anstelle von $x$ und $f$ können auch andere Bezeichnungen genutzt werden wie $g (t)$ .

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion.

Ein Kreis ist keine Funktion.

Die linke Abbildung zeigt die Funktion $f (x) = x^{2} - 2 x$ . Die rechte Abbildung zeigt hingegen keine Funktion. Dem Wert $x = 1$ wird in dem Kreis sowohl der Wert $1, 5$ als auch der Wert $- 1, 5$ zugeordnet. Das widerspricht der Vorgabe, dass bei einer Funktion einer Zahl $x$ nur ein eindeutiger Funktionswert $f (x)$ zugeordnet wird.

Mit dieser APP kannst du

Funktionen nochmals üben.

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Wie wird ein Funktionswert berechnet?

Um einen Funktionswert zu berechnen, wird der Wert der Zahl $x$ in die Funktionsgleichung eingesetzt.

Beispielaufgabe

Bestimme für die Funktion $f (x) = x^{3} - 3 x$ den Funktionswert für $x = 2$ .

Rechenweg

$f (2) = 2^{3} - 3 \cdot 2 = 8 - 9 = - 1$

Wie wird eine Funktion gezeichnet?

Um eine Funktion zu zeichnen, ist es hilfreich, eine Wertetabelle zu erstellen. Dafür werden beliebige Werte in die Funktion eingesetzt, um ihren Funktionswert zu bestimmen. Es sollten immer ausreichend Funktionswerte bestimmt werden, sodass der Verlauf des Graphen abgeschätzt werden kann.

Beispielaufgabe

Zeichne den Graphen der Funktion $f (x) = x^{3} - 3 x$ .

Rechenweg

$x$

$f (x)$

-3

-18

-2

-1

-2

Stelle oder Punkt?

Wenn nach einer Stelle gefragt wird, ist damit nur ein $x$ -Wert gemeint. Bei einem Punkt müssen hingegen $x$ und $y$ angegeben werden.

Wie lässt sich der Verlauf einer Funktion beschreiben?

Um den Verlauf einer Funktion zu beschreiben, kann angegeben werden, in welchen Bereichen sie steigt oder fällt. Oftmals werden besondere Stellen oder Punkte einer Funktion bestimmt wie der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse oder die Nullstellen. Nullstellen sind alle Stellen, an denen die $x$ -Achse geschnitten oder berührt wird.

Wie­der­ho­lung: Funk­ti­ons­be­griff

Wiederholung: Funktionsbegriff