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Wie­der­ho­lung: Funk­ti­ons­be­griff

Funk­ti­o­nen las­sen sich am bes­ten mit so ge­nann­ten Funk­ti­ons­ma­schi­nen ver­ste­hen. Ihr gebt oben eine Zahl in die Ma­schi­ne aus und je nach Pro­duk­ti­ons­pro­gramm (=Funk­ti­ons­glei­chung) spuckt die Ma­schi­ne unten eine Zahl bzw. einen Wert aus.





Im dar­ge­stell­ten Bei­spiel gebe ich die Zahl 2 in die Ma­schi­ne. Die Ma­schi­ne nimmt die Zahl 2 und wen­det dar­auf ihr Pro­duk­ti­ons­pro­gramm an, d.h.  mit . An­stel­le von  schreibt man dann  (sprich f von 2"), also .



Als Er­geb­nis spuckt die Ma­schi­ne also die Zahl 6 aus.



Pro­biert die Ma­schi­ne selbst ein­mal aus:

Merke

Eine Funk­ti­on ord­net einer ers­ten Größe eine zwei­te Größe ein­deu­tig zu.



Funk­ti­o­nen kön­nen mit Wor­ten be­schrie­ben oder durch

eine Wer­te­ta­bel­le, ein Schau­bild oder eine Funk­ti­ons­glei­chung dar­ge­stellt wer­den.

Bei­spiel

Worte:   Ein Kilo Äpfel kos­tet 2,00 €.



Wer­te­ta­bel­le:







Schau­bild:













































Funk­ti­ons­glei­chung:

x

1

2

3

4

5

6

y

2

4

6

8

10

12

Eine Glei­chung

y = m · x

ist eine

pro­por­ti­o­na­le

Funk­ti­on, da sie durch den

Koordinaten-​ursprung (0|0)

geht.

12345x123456789yoriginO
y = 2x
12345x123456789yoriginO
y = 2x
Frage

Wie viel kos­tet 6 Ki­lo­gramm Äpfel?

Lö­sung
6 Kilogramm Äpfel kosten 12€.

Merke:

Pro Por­ti­on Äpfel steigt also der Ge­samt­preis.“

Daher wird der Fak­tor vor dem x auch „Stei­gung“ ge­nannt.

Was ist eine Funk­ti­on?

Eine Funk­ti­on ord­net einer Zahl einen ein­deu­ti­gen Funk­ti­ons­wert (lies: f von x) zu. So ent­ste­hen Wer­te­paa­re, die als Punk­te in ein Ko­or­di­na­ten­sys­tem ein­ge­tra­gen wer­den kön­nen. Eine Linie, die alle Punk­te einer Funk­ti­on mit­ein­an­der ver­bin­det, nennt sich Graph einer Funk­ti­on. An­stel­le von und kön­nen auch an­de­re Be­zeich­nun­gen ge­nutzt wer­den wie .

−3−2−1123x−1123yoriginO
f(x)
−3−2−1123x−1123yoriginO
f(x)
−3−2−1123x−1123yoriginO−3−2−1123x−1123yoriginO

Die Ab­bil­dung zeigt den Gra­phen einer Funk­ti­on.

Ein Kreis ist keine Funk­ti­on.

Die linke Ab­bil­dung zeigt die Funk­ti­on . Die rech­te Ab­bil­dung zeigt hin­ge­gen keine Funk­ti­on. Dem Wert  wird in dem Kreis so­wohl der Wert  als auch der Wert  zu­ge­ord­net. Das wi­der­spricht der Vor­ga­be, dass bei einer Funk­ti­on einer Zahl  nur ein ein­deu­ti­ger Funk­ti­ons­wert  zu­ge­ord­net wird.

Mit die­ser APP kannst du

Funk­ti­o­nen noch­mals üben.

Mit die­ser APP kannst du

Funk­ti­o­nen noch­mals üben.

Wie wird ein Funk­ti­ons­wert be­rech­net?

Um einen Funk­ti­ons­wert zu be­rech­nen, wird der Wert der Zahl in die Funk­ti­ons­glei­chung ein­ge­setzt.

Bei­spiel­auf­ga­be

Be­stim­me für die Funk­ti­on den Funk­ti­ons­wert für .

Re­chen­weg

Wie wird eine Funk­ti­on ge­zeich­net?

Um eine Funk­ti­on zu zeich­nen, ist es hilf­reich, eine Wer­te­ta­bel­le zu er­stel­len. Dafür wer­den be­lie­bi­ge Werte in die Funk­ti­on ein­ge­setzt, um ihren Funk­ti­ons­wert zu be­stim­men. Es soll­ten immer aus­rei­chend Funk­ti­ons­wer­te be­stimmt wer­den, so­dass der Ver­lauf des Gra­phen ab­ge­schätzt wer­den kann.

Bei­spiel­auf­ga­be

Zeich­ne den Gra­phen der Funk­ti­on .

Re­chen­weg



−3−2−1123x−2−1123yoriginO
f(x)
−3−2−1123x−2−1123yoriginO
f(x)

-3

-18

-2

-2

-1

2

0

0

1

-2

2

2

3

18

Stel­le oder Punkt?

Wenn nach einer Stel­le ge­fragt wird, ist damit nur ein -Wert ge­meint. Bei einem Punkt müs­sen hin­ge­gen und an­ge­ge­ben wer­den.

Wie lässt sich der Ver­lauf einer Funk­ti­on be­schrei­ben?

Um den Ver­lauf einer Funk­ti­on zu be­schrei­ben, kann an­ge­ge­ben wer­den, in wel­chen Be­rei­chen sie steigt oder fällt. Oft­mals wer­den be­son­de­re Stel­len oder Punk­te einer Funk­ti­on be­stimmt wie der Schnitt­punkt mit der -​Achse oder die Null­stel­len. Null­stel­len sind alle Stel­len, an denen die -​Achse ge­schnit­ten oder be­rührt wird.

x