Liegt ein Punkt in der Ebene $E$ ?

Die Ebene $E$ enthält die Punkte $A$, $B$ und $C$. Ihre Ebenengleichung lautet:



$E:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB}+s\cdot \overrightarrow{AC}$, mit $rϵ\mathbb{R}$, $sϵ\mathbb{R}$



Beliebige Punkte der Ebene können berechnet werden, indem für die Parameter $r$ und $s$ reelle Zahlen eingesetzt werden. Umgekehrt muss daher gelten: Wenn ein Punkt in der Ebene liegt, gibt es zwei reelle Zahlen $r$ und $s$, für die die Ebenengleichung zu diesem Punkt führt. Das wird mit einer Punktprobe untersucht.

Untersuchung von Punkt $P$

1) Um zu untersuchen, ob der Punkt $P$ in der Ebene liegt, wird der Ortsvektor $\overrightarrow{OP}$ für $\overrightarrow{x}$ eingesetzt:















2) Aus der Vektorgleichung ergibt sich ein Lineares Gleichungssystem (LGS):

3) Das LGS enthält drei Gleichungen und zwei Unbekannte. Nutze die ersten beiden Gleichungen, um $r$ und $s$ zu bestimmen:



































4) Führe mit der dritten Gleichung die Probe durch:

















5) Das LGS hat Lösung. Die Punktprobe ist . Der Punkt $P$ in der Ebene $E$.

Untersuchung von Punkt $Q$

Führe die Schritte 1) bis 5) zur Untersuchung von Punkt $Q$ ebenfalls durch. Nutze für die Rechnungen dein Heft.















Lösung – Untersuchung von Punkt $P$



Schritt 1) Gleichsetzen



$\left(\begin{array}{r}\text{-}4\\ 5\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}2\\ 6\\ \text{-}1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{r}\text{-}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{r}\text{-}2\\ \text{-}1\\ 1\end{array}\right)$





Schritt 2) LGS aufstellen



$\begin{array}{rlrlrlrlrl}I.& & \text{-}4& =& 2& -& 2r& -& 2s& \\ II.& & 5& =& 4& +& 1r& -& 1s& \\ III.& & 4& =& \text{-}1& +& 3r& +& 1s& \end{array}$



Schritt 3) I und II vereinfachen und eine Variable (evtl. Additionsverfahren) eliminieren und in die andere Gleichung einsetzen.



$\begin{array}{rlrlr}I.& & \text{-}4& =2-2r-2s& |-2\\ II.& & 5& =6+1r-1s& |-6\\ & & & & \\ I_a.& & \text{-}6& =\text{-}2r-2s& \\ I{I}_a.& & \text{-}1& =1r-1s& \\ & & & & \end{array}$

$I_a+2\cdot I{I}_a$: $-8=-4s$





$s=2$ in $I{I}_a$ $\Rightarrow r=1$



Schritt 4) r und s in III Gleichung einsetzen



$\begin{array}{rlrlrlr}III.& & 4& =\text{-}1& +& 3\cdot 1& +1\cdot 2\\ & & 4& =4& ✓& & \end{array}$





Schritt 5)



Das LGS hat genau eine Lösung. Die Punktprobe ist positiv. Der Punkt $P$ liegt in der Ebene $E$.

Lösung – Untersuchung von Punkt $Q$



Schritt 1) Gleichsetzen



$\left(\begin{array}{r}2\\ 3\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}2\\ 4\\ \text{-}1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{r}\text{-}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{r}\text{-}2\\ \text{-}1\\ 1\end{array}\right)$





Schritt 2) VLGS aufstellen.



$\begin{array}{rlrlrlrlrl}I.& & 2& =& 2& -& 2r& -& 2s& \\ II.& & 3& =& 4& +& 1r& -& 1s& \\ III.& & 3& =& \text{-}1& +& 3r& +& 1s& \end{array}$



Schritt 3) I und II vereinfachen und eine Variable (evtl. Additionsverfahren) eliminieren und in die andere Gleichung einsetzen.





$\begin{array}{rlrlr}I.& & 2& =2-2r-2s& |-2\\ II.& & 3& =4+1r-1s& |-4\\ & & & & \\ I_a.& & 0& =\text{-}2r-2s& \\ I{I}_a.& & \text{-}1& =1r-1s& \\ & & & & \end{array}$

$I_a+2\cdot I{I}_a$: $-2=-4s$





$s=0,5$ in $I{I}_a$ $\Rightarrow r=-0,5$



Schritt 4) r und s in III einsetzen



$\begin{array}{rlrlrlr}III.& & 3& =\text{-}1& +& 3\cdot 0,5& +1\cdot (\text{-}0,5)\\ & & 3& \ne 0& & & \end{array}$



Schritt 5)



Das LGS hat keine Lösung. Die Punktprobe ist negativ. Der Punkt $Q$ liegt nicht in der Ebene $E$.