Wo stehe ich?

$\Rightarrow$ Was ist ein Normalenvektor?

$\Rightarrow$ Berechne das Skalarprodukt: $3 - 1 2 \circ - 1 24$

Den Normalenvektor einer Ebene aud der Parameterform bestimmen

Ein Normalenvektor steht senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene. Das bedeutet, er ist rechtwinklig zu allen Vektoren, die in der Ebene liegen – z. B. den beiden Spannvektoren $u$ und $v$ , die die Ebene beschreiben.

Da das Skalarprodukt für Vektoren, die senkrecht aufeinander stehen immer null ist, muss also gelten: $n \circ u = 0 u n d n \circ v = 0$

Wie geht man vor?

Beispiel:

Gegeben ist die Ebene: $E : x = 103 + r \cdot - 1 0 - 1 + s \cdot - 4 2 - 2$

Gesucht: ein Vektor $n = n_{1} n_{2} n_{3}$ , der orthogonal zu beiden Spannvektoren ist.

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Berechne

n_{1} n_{2} n_{3} \circ - 1 0 - 1

und

n_{1} n_{2} n_{3} \circ - 4 2 - 2

.

Du erhältst zwei Gleichungen mit insgesamt drei Variablen. Das Gleichungssystem ist unterbestimmt. Ein unterbestimmtes Gleichungssystem hat also weniger unabhängige Gleichungen als Unbekannte und deshalb unendlich viele Lösungen. Um diese zu berechnen, darfst du eine Variable frei wählen.

2

Wähle für eine Variable ein feste Zahl z.B.

n_{3} = 1

und berechne die fehlenden Variablen.

Ein möglicher Normalenvektor ist also $n = - 1 - 1 1$ .

Hinweis

Der Normalenvektor selbst ist also nicht eindeutig, sondern abhängig von deiner Wahl der Variablen. Seine Richtung ist jedoch eindeutig. Alle Lösungen des linearen Gleichungssystems beschreiben denselben Richtungsvektor – nur mit unterschiedlicher Länge oder Vorzeichen.

Alternativ kannst du den Normalenvektor auch mit Hilfe des Vektorproduktes bestimmen.

Arbeitsauftrag

Erarbeite dir die Rechenregeln zum Vektorprodukt, indem du die Aufgaben löst. Wenn du nicht weiter kommst, findest du die Lösungen am Ende des Dokuments.

Was ist ein Vektorprodukt?

Das Vektorprodukt, das auch Kreuzprodukt genannt wird, ist eine mathematische Verknüpfung von zwei Vektoren. Dabei werden die Koordinaten der beteiligten Vektoren in einem Kreuzmuster multipliziert und anschließend subtrahiert. Das Ergebnis einer Vektormultiplikation ist im Vergleich zur Skalarmultiplikation ein Vektor. Das Rechenzeichen für das Vektorprodukt ist ein Kreuz $\times$ .

Wie wird ein Vektorprodukt berechnet?

Die Formel für die Berechnung des Vektorproduktes von Vektoren lautet:

$a \times b = a_{1} a_{2} a_{3} \times b_{1} b_{2} b_{3} = a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$

Vektorprodukte können nur für Vektoren mit drei Koordinaten berechnet werden. Eine Berechnung des Vektorproduktes für einen Vektor mit zwei Koordinaten ist nicht möglich.

Beispiel

$a = 136$ , $b = - 1 - 2 5$

$a \times b = 136 \times - 1 - 2 5 = 3 \cdot 5 - 6 \cdot (- 2) 6 \cdot (- 1) - 1 \cdot 5 1 \cdot (- 2) - 3 \cdot (- 1)$

$a \times b = 27 - 11 1$

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Schau dir die Formel zur Berechnung des Vektorproduktes genau an. Gib eine mögliche Begründung an, warum das Vektorprodukt von Vektoren mit zwei Koordinaten nicht berechnet werden kann.

Rechentrick: Das Vektorprodukt schnell und einfach berechnen

Die Formel für das Vektorprodukt sieht auf den ersten Blick etwas kompliziert aus. Mit den folgenden Schritten lässt sich das Vektorprodukt dennoch schnell und einfach berechnen.

$136 \times - 1 - 2 5$

(1) Schreibe beide Vektoren

ohne Klammern jeweils

zweimal untereinander.

(2) Streiche die obere

und die untere Zeile durch.

(3) Verbinde nun die restlichen

Zahlen mit drei Kreuzen.

(4) Jedes Kreuz steht für eine Zeile im Vektor, die berechnet wird. Multipliziere die verbundenen Zahlen miteinander. Ziehe dann in jeder Zeile das zweite Produkt vom ersten Produkt ab.

Die geometrische Bedeutung des Vektorproduktes

Im Beispiel oben wurde das Vektorprodukt der Vektoren $a$ und $b$ berechnet. Das Vektorprodukt soll ab nun $n$ heißen.

$a = 136$ , $b = - 1 - 2 5$ , $a \times b = n = 27 - 11 1$

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a) Berechne die Skalarprodukte von

a

und

b

mit

n

.

b) Wenn du dich nicht verrechnet hast, sollten die Ergebnisse gleich sein und eine Besonderheit aufweisen. Beschreibe die Besonderheit.

c) Ergänze den Merksatz zur geometrischen Bedeutung des Vektorproduktes.

Bei der Vektormultiplikation entsteht ein Vektor, der senkrecht auf den beiden beteiligten Vektoren steht.

Lösung

Aufgabe 1

Bei der Berechnung des Vektorproduktes werden in jeder Zeile die Werte aus den anderen beiden Zeilen benötigt. In einem Vektor mit nur zwei Zeilen wäre eine solche Berechnung nicht möglich, da immer eine Zeile fehlen würde.

Aufgabe 2

a)

b) In beiden Fällen ist das Skalarprodukt null.

c) Bei der Vektormultiplikation entsteht ein Vektor, der senkrecht auf den beiden beteiligten Vektoren steht.

$a \cdot n = 136 \cdot 27 - 11 1 = 0$

$b \cdot n = - 1 - 2 5 \cdot 27 - 11 1 = 0$