• Einheitsquadrat vs. Flächeneinheit
  • Valentin Helling
  • 02.02.2022
  • Mathematik
  • Messen
  • R (Regelstandard)
  • 5
  • Information
Um die Lizenzinformationen zu sehen, klicken Sie bitte den gewünschten Inhalt an.

Im Paket Messen M 5 hast du gelernt, wie man mit Einheitsquadraten Flächen messen kann.


Hast du z.B. Einheitsquadrate benutzt, die eine Seitenlänge von 1cm\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 1cm haben, dann hast du bei einem Rechteck mit den Seitenlängen


a=5 Einheitsquadrate\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a=5\ Einheitsquadrate    \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \ \ \ und    \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \ \ \ b=2 Einheitsquadrate\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} b=2\ Einheitsquadrate


als Ergebnis einen Flächeninhalt von 10\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \textbf{10} Einheitsquadraten erhalten:

5 Einheitsquadrate\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 5\ Einheitsquadrate
2 Einheitsquadrate\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 2\ Einheitsquadrate
Fla¨cheninhalt=5 Einheitsquadrate2 Einheitsquadrate=10 Einheitsquadrate\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} Flächeninhalt &= 5\ Einheitsquadrate\cdot 2\ Einheitsquadrate\\ &= \textbf{\underline{\underline{10\ Einheitsquadrate}}} \end{aligned}

Hättest du bei dem gleichen Rechteck Einheitsquadrate mit der Seitenlänge von 5mm\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 5mm verwendet, hättest du als Flächeninhalt 40\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \textbf{40} Einheitsquadrate erhalten:

10 Einheitsquadrate\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 10\ Einheitsquadrate
4 Einheitsquadrate\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 4\ Einheitsquadrate
Fla¨cheninhalt=10 Einheitsquadrate4 Einheitsquadrate=40 Einheitsquadrate\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} Flächeninhalt &= 10\ Einheitsquadrate\cdot 4\ Einheitsquadrate\\ &= \textbf{\underline{\underline{40\ Einheitsquadrate}}} \end{aligned}

Du siehst:
je nachdem welches Einheitsquadrat du verwendest, kommen unterschiedliche Ergebnisse heraus!

Um dieses Problem zu beheben, hat man vor langer Zeit eine Vereinbarung getroffen:


Anstatt als Größenangabe für Flächen mit dem langen Wort Einheitsquadrat zu arbeiten (bei dem man zusätzlich ja noch erklären muss, wie lange die Seiten das Quadrats sind), gilt:

Quadrate mit einer Seitenlänge von 1mm\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 1mm sind genau 1mm²\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \textbf{1mm²} (sprich: Quadratmillimeter) groß.
Quadrate mit einer Seitenlänge von 1cm\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 1cm sind genau 1cm²\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \textbf{1cm²} (sprich: Quadratzentimeter) groß.
Quadrate mit einer Seitenlänge von 1dm\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 1dm sind genau 1dm²\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \textbf{1dm²} (sprich: Quadratdezimeter) groß.
Quadrate mit einer Seitenlänge von 1m\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 1m sind genau 1m²\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \textbf{1m²} (sprich: Quadratmeter) groß.
Quadrate mit einer Seitenlänge von 10m\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 10m sind genau 1ar\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \textbf{1ar} (sprich: Ar) groß.
Quadrate mit einer Seitenlänge von 100m\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 100m sind genau 1ha\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \textbf{1ha} (sprich: Hektar) groß.
Quadrate mit einer Seitenlänge von 1km\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 1km sind genau 1km²\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \textbf{1km²} (sprich: Quadratkilometer) groß.

Nehmen wir nun nochmal das obige Rechteck als Beispiel.

Gibst du die Seitenlängen des Rechtecks also nicht in Quadraten, sondern in cm\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} cm an, dann lautet die Rechnung:

5cm\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 5cm
Fla¨cheninhalt=5 cm2 cm=10 cm²\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} Flächeninhalt &= 5\ cm\cdot 2\ cm\\ &= \textbf{\underline{\underline{10\ cm²}}} \end{aligned}
2cm\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 2cm

Gibst du die Seitenlängen dagegen in mm\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} mm an, dan lautet die Rechnung:

50mm\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 50mm
Fla¨cheninhalt=50 mm20 mm=1000 mm²\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} Flächeninhalt &= 50\ mm\cdot 20\ mm\\ &= \textbf{\underline{\underline{1000\ mm²}}} \end{aligned}
20cm\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 20cm

Und da die Umwandlungszahl bei Flächeneinheiten die 100\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 100 ist, können wir noch schnell die mm²\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} mm² in cm²\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} cm² umrechnen um zu sehen, ob wir auch richtig gerechnet haben:


1000mm²:100=10cm²\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 1000mm² : 100=10cm²


Es stimmt also!