• Höhensatz
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  • 03.02.2020
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Höhensatz und Kathetensatz

Höhensatz und Kathetensatz sind Folgerungen aus dem Satz des Pythagoras und gelten demensprechend auch nur in rechtwinkligen Dreiecken. Sie lauten:

Höhensatz und Kathetensatz

In einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse c und den Katheten a und b teilt die Höhe h die Hypotenuse in die Hypotenusenabschnitte p und q. Es gilt dann

hc2=pq\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} {h_{c}}^{2}=p\cdot q
a2=cpb2=cq\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a^{2}=c\cdot p \\ \\ b^{2}=c\cdot q

Höhensatz

Kathetensatz

1
Erstelle mit einem Partner im Heft je eine Zeichnung für beide Sätze, die den gezeigten Zusammenhang darstellen.
Formuliert die beiden Regeln in Sätzen und berücksichtigt, dass es sich um Sätze über Flächen handelt. Veranschaulicht diese Flächen in euren Skizzen.
Lösung1
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dc/Hoehensatz.svg/290px-Hoehensatz.svg.png
Das Quadrat über der Höhe hc hat den gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck p * q.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Kathetensatz.svg/220px-Kathetensatz.svg.png
Das Quadrat über einer Kathete hat den gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck aus Hypotenuse c und dem an der Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt.
Höhensatz an einem Beispiel erklärt.
YouTube-Video
Kathetensatz an einem Beispiel erklärt.
YouTube-Video
2
Berechne die rot markierten Strecken
Lösung2
a) h²=pq\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h² = p\cdot q, also h²=97200\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h² = 97200
a²=h²+270²\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a² = h² + 270², also a=412,43\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a = 412{,}43
b²=h²+360²\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} b² = h² + 360², also b=476,24\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} b = 476{,}24

b) 520²=430p\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 520² = 430\cdot p, also p=628,84\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} p = 628{,}84
a²=520²+628,84²\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a² = 520² + 628{,}84², also a=815,99\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a = 815{,}99
b²=430²+520²\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} b² = 430² + 520², also b=674,76\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} b = 674{,}76

c) 460²=h²+250²\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 460² = h² + 250², also h²=149100\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h² = 149100
250q=149100\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 250\cdot q = 149100, also q=596,4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} q = 596{,}4
c=p+q\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} c = p + q, also c=846,4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} c = 846{,}4
b²+460²=846,4²\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} b² + 460² = 846{,}4², also b=710,49\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} b = 710{,}49
3
Löse die Aufgaben, die bei Bettermarks zum Höhen- und Kathetensatz bereitgestellt sind (Satzgruppe des Pythagoras, Kapitel 5).