Geradengleichungen aufstellen

Die Abbildung zeigt die Punkte $A(2|4)$ und $B(6|3)$. Durch diese beiden Punkte soll die Gerade $g$ gelegt werden.

Zum Aufstellen der Geraden werden ein Stützvektor und ein Richtungsvektor benötigt. Bei dem Stützvektor handelt es sich um einen Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt auf der Geraden. Dafür kann der Ortsvektor $\overrightarrow{OA}$ verwendet werden.

Als Richtungsvektor eignet sich jeder Vektor, der parallel zur Geraden verläuft. Es handelt sich also um einen beliebigen Verbindungsvektor von zwei Punkten auf der Geraden wie den Vektor $\overrightarrow{AB}$.

Neben den beiden Vektoren wird noch ein Parameter benötigt. Dafür werden häufig die Buchstaben $r$, $s$ oder $t$ benutzt.

Die Geradengleichung lautet dann:



$g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB}$



$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r}2\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{r}4\\ \text{-}1\end{array}\right)$, mit $rϵ\mathbb{R}$



$\overrightarrow{x}$ stellt in der Gleichung einen Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt auf der Geraden dar.

$\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{OA}$

Zusammenfassung: Parameterdarstellung einer Geraden

Durch einen Punkt A und einen Vektor $\overrightarrow{u}$ ist eine Gerade g bestimmt.

Für jeden Punkt X auf der Geraden g

gibt es eine Zahl $t\in \mathbb{R}$, so dass gilt:



$g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+t\cdot \overrightarrow{u}$





Für Punkte, die nicht auf der Geraden g liegen,

gibt es eine solche Zahl nicht.

Diese Gleichung bezeichnet man als Parameterdarstellung der Gerade g mit dem Parameter t. Der Vektor $\overrightarrow{a}$ heißt Stützvektor von g, der Vektor $\overrightarrow{u}$ Richtungsvektor von g.

Durchläuft der Parameter t alle reellen Zahlen, so erhält man alle Punkte der Geraden g.



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