Untersuchung von Punkt $A$



Um zu prüfen, ob der Punkt $A$ auf der Geraden liegt, wird der Ortsvektor $\overrightarrow{a}$ in die Geradengleichung für den Vektor $\overrightarrow{x}$ eingesetzt:



$\left(\begin{array}{r}2\\ \text{-}2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \text{-}2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{r}2\\ \text{-}4\\ 6\end{array}\right)$



Es ergibt sich ein LGS mit drei Gleichungen und einer Variablen. Alle Gleichungen werden nach der Variablen aufgelöst:



$\begin{array}{rlrlrlrl}I.& & 2& =& 1& +& 2r& |-1\\ II.& & \text{-}2& =& 0& -& 4r& \\ III.& & 1& =& \text{-}2& +& 6r& |+2\end{array}$



$\begin{array}{rlrlrlrl}I.& & 1& =& & & 2r& |:2\\ II.& & \text{-}2& =& & & \text{-}4r& |:(\text{-}4)\\ III.& & 3& =& & & 6r& |:6\end{array}$



$\begin{array}{rlrlrlrl}I.& & 0,5& =& & & r& \\ II.& & 0,5& =& & & r& \\ III.& & 0,5& =& & & r& \end{array}$



Da sich in allen drei Gleichungen der gleiche Wert für $r$ ergibt, ist das LGS eindeutig lösbar. Der Punkt $A$ liegt auf der Geraden $g$.

Untersuchung von Punkt $B$



Um zu prüfen, ob der Punkt $B$ auf der Geraden liegt, wird der Ortsvektor $\overrightarrow{b}$ in die Geradengleichung für den Vektor $\overrightarrow{x}$ eingesetzt:



$\left(\begin{array}{r}5\\ \text{-}12\\ 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \text{-}2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{r}2\\ \text{-}4\\ 6\end{array}\right)$



Wie schon bei der Untersuchung von Punkt $A$ ergibt sich wieder ein LGS mit drei Gleichungen und einer Variablen. Alle Gleichungen werden nach der Variablen aufgelöst:



$\begin{array}{rlrlrlrl}I.& & 5& =& 1& +& 2r& |-1\\ II.& & \text{-}12& =& 0& -& 4r& \\ III.& & 10& =& \text{-}2& +& 6r& |+2\end{array}$



$\begin{array}{rlrlrlrl}I.& & 4& =& & & 2r& |:2\\ II.& & \text{-}12& =& & & \text{-}4r& |:(\text{-}4)\\ III.& & 12& =& & & 6r& |:6\end{array}$



$\begin{array}{rlrlrlrl}I.& & 2& =& & & r& \\ II.& & 3& =& & & r& \\ III.& & 2& =& & & r& \end{array}$



Der Wert in der zweiten Gleichung weicht von den beiden anderen Werten ab. Das LGS hat eine leere Lösungsmenge. Somit liegt der Punkt $B$ nicht auf der Geraden.