Eine Punktprobe durchführen
Um zu untersuchen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, wird eine Punktprobe durchgeführt. Dafür wird der Ortsvektor des Punktes für x in die Geradengleichung eingesetzt. Wenn es einen Parameter gibt, mit dem die Gleichung lösbar ist, liegt der Punkt auf der Geraden.
Beispielaufgabe
Gegeben sind die Punkte A (2∣-2∣1) und B (5∣-12∣10) sowie die Gerade g. Untersuche, ob die Punkte A und B auf der Geraden liegen.
g:x= 10-2+r ⋅ 2-46
Untersuchung von Punkt A
Um zu prüfen, ob der Punkt A auf der Geraden liegt, wird der Ortsvektor a in die Geradengleichung für den Vektor x eingesetzt:
2-21= 10-2+r ⋅ 2-46
Es ergibt sich ein LGS mit drei Gleichungen und einer Variablen. Alle Gleichungen werden nach der Variablen aufgelöst:
I.II.III. 2 -21===10-2 + − +2r4r6r ∣−1 ∣+2
I.II.III. 1 -23=== 2r-4r6r ∣:2 ∣:(-4) ∣:6
I.II.III. 0,50,50,5=== rrr
Da sich in allen drei Gleichungen der gleiche Wert für r ergibt, ist das LGS eindeutig lösbar. Der Punkt A liegt auf der Geraden g.
Schau dir genau an, wie eine Vektorgleichung in ein Gleichungssystem umgewandelt wird. Das wirst du häufiger benötigen.
Untersuchung von Punkt B
Um zu prüfen, ob der Punkt B auf der Geraden liegt, wird der Ortsvektor b in die Geradengleichung für den Vektor x eingesetzt:
5-1210= 10-2+r ⋅ 2-46
Wie schon bei der Untersuchung von Punkt A ergibt sich wieder ein LGS mit drei Gleichungen und einer Variablen. Alle Gleichungen werden nach der Variablen aufgelöst:
I.II.III. 5 -1210===10-2 + − +2r4r6r ∣−1 ∣+2
I.II.III. 4 -1212=== 2r-4r6r ∣:2 ∣:(-4) ∣:6
I.II.III. 232=== rrr
Der Wert in der zweiten Gleichung weicht von den beiden anderen Werten ab. Das LGS hat eine leere Lösungsmenge. Somit liegt der Punkt B nicht auf der Geraden.
Video zur weiteren Erarbeitung
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