Eine quadratische Gleichung in Allgemeiner Form ist eine Gleichung mit der Form: ax2+bx+c=0
Besonderheit: eine quadratische Gleichung in Allgemeiner Form kannst du nicht immer lösen, manchmal gibt es keine Lösung, manchmal gibt es genau eine Lösung und manchmal zwei Lösungen.
Wenn es zwei Lösungen gibt, sind es meisten zwei verschiedene Zahlen. Sie können das gleiche Vorzeichen haben, müssen sie aber nicht.
Für die Lösung dieser Gleichung gibt es eine Formel. Die kannst du aber erst benutzen, wenn du aus der Allgemeinform ax2+bx+c=0 die Normalform x2+px+q=0 gemacht hast.
(wie das geht lernst du in diesem Abschnitt)
... alle Teile der Allgemeinform durch den Faktor vor dem x2 teilst.
ax2+bx+c=0∣:a
⇒x2+abx+ac=0
⇒x2+px+q=0
Beispiel
2x2+4x+7=0∣:2
x2+2x+27=0
Die heißt so, weil du in ihr das p und das q aus der Normalform nutzt, um die Lösung zu berechnen.
x1,2=−2p±(2p)2−q
WIE du die benutzt, lernst du auf der nächsten Seite.
Die pq-Formel steht in deiner Formelsammlung, du solltest sie dir aber trotzdem merken (machst du auch, wenn du eine Weile geübt hast). Eine Merkhilfe findest du in diesem Video:
https://editor.mnweg.org/entdecken/dokument/gleichungen-loesen-mit-der-pq-formel
Löse die Gleichung x2+12x+32=0
1. Werte finden:
p=12 und q=32
2. Einsetzen in die pq-Formel
x1,2=−2p±(2p)2−q
x1,2=−212±(212)2−32
x1,2=−6±(6)2−32
x1,2=−6±36−32
x1,2=−6±4
x1=−6+2 und x2=−6−2
x1=−4 und x2=−8
L={−4/−8}
WENN p<0 also eine negative Zahl ist, funktioniert die Formel immer noch.
Achte dann genau auf die Vorzeichen!
Entsteht unter der Wurzel eine Zahl kleiner als Null → dann hat die Gleichung keine Lösung.
Steht unter der Wurzel eine Null gibt es eine Lösung → x1,2=−2p
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- x2+10x+21=0
L={−7/−3} - x2+8x+15=0
L={−3/−5} - x2+9x+14=0
L={−2/−7} - x2+13x+36=0
L={−4/−9}
- x2−12x+27=0
L={3/9} - x2−5x+4=0
L={1/4} - x2−15x+50=0
L={10/5} - x2−11x+30=0
L={6/5}
Erinnerung:
Um die pq-Formel anwenden zu können, muss die quadratische Gleichung in die Normalform der Form x2+px+q=0 gebracht werden
Beispielaufgabe
Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x)=2x2+4x−6.
f(x)=0
2x2+4x−6=0 ∣:2
x2+2x−3=0
p=2;q=-3
x1,2=-22±(22)2−(-3)
x1=1;x2=-3
L={1,−3}
Um die volle Punktzahl zu erhalten, solltest du für das Lösen der Aufgaben stets den Rechenweg angeben.
https://editor.mnweg.org/entdecken/dokument/gleichungen-loesen-mit-der-pq-formel
Gib dann die Lösungsmenge an.
- 8x2−128x+504=0
x2−16x+63
L={7/9} - 6x2−102x+432=0
x2−17x+72
L={8/9} - 1x2−14x+48=0
x2−14x+48
L={6/8}
Gib dann die Lösungsmenge an.
- 9x2−81x+180=0
x2−9x+20
L={5/4} - 3x2−45x+162=0
x2−15x+54
L={9/6} - 7x2−98x+315=0
x2−14x+45
L={9/5}
Eine andere Möglichkeit, die Allgemeinform ax2+bx+c=0 zu lösen, ist die Mitternachtsformel.
Die sieht so aus:
x1,2=2a−b±b2−4ac
Dort setzt du dann direkt die Werte a,b,c aus der Allgemeinform ein.
Die Formel findest du nicht in der Formelsammlung, weil sie nicht Pflicht
ist im Sächsischen Lehrplan, aber in anderen Bundesländern.
Du darfst sie natürlich trotzdem nutzen, wenn du das möchtest, wir konzentrieren uns im Unterricht aber auf die pq-Formel.
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Wie lassen sich die Schnittpunkte einer quadratischen Funktion mit einer anderen Funktion berechnen?
Um die Schnittpunkte von zwei Funktionen zu bestimmen, müssen die Funktionen gleichgesetzt werden. Es entsteht eine Gleichung, die gelöst werden kann.
Beispielaufgabe
Ermittle, ob die Funktionen f(x)=x2+2x+1 und g(x)=-2x−3 sich schneiden und gib gegebenenfalls die Schnittpunkte an.
f(x)=g(x)
x2+2x+1=-2x−3 ∣+2x+3
x2+4x+4=0
p=4;q=4
x1,2=-24±(24)2−4
x=-2
g(-2)=1
Die Funktionen berühren sich im Punkt S(-2∣1).
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