Man­che All­tags­ge­gen­stän­de haben an­nä­hernd die Ge­stalt eines Ke­gels. Hier ein paar Bei­spie­le:





Der rich­ti­ge Aus­druck für die­sen Kör­per ist ei­gent­lich Kreis­ke­gel. In der hö­he­ren Ma­the­ma­tik wer­den näm­lich manch­mal auch Kegel be­trach­tet, deren Grund­flä­che kein Kreis ist.

In der Schu­le geht es in der Regel um ge­ra­de Kreis­ke­gel. Bei ge­ra­den Kreis­ke­geln liegt die Spit­ze des Ke­gels senk­recht über dem Mit­tel­punkt der Grund­flä­che.



Be­mer­kung:

Ein ge­ra­der Kreis­ke­gel ent­steht, wenn sich ein recht­wink­li­ges Drei­eck um eine sei­ner Sei­ten dreht.

Der ent­ste­hen­de Ro­ta­ti­ons­kör­per ist ein ge­ra­der Kreis­ke­gel.



Es gibt aber auch schie­fe Kreis­ke­gel, wie z.B. der rechts dar­ge­stell­te Kegel.



Das Vo­lu­men eines Zy­lin­ders kennst du be­reits. Hier noch­mal zur Wie­der­ho­lung:



$V_{Zylinder}=A_G\cdot h=\pi \cdot r^2\cdot h$



Schau dir fol­gen­des Video an und über­le­ge dir, wie man das Vo­lu­men eines Kreis­ke­gels be­rech­net (den Teil mit der Kugel kannst du igno­rie­ren, der folgt spä­ter):

Warum ist das so?

Die Grund­flä­che A_G eines Ke­gels ist ein Kreis. Die Flä­che von einem Kreis er­hält man mit der For­mel A_Kreis=$\pi \cdot r^2$

Bei­spiel



Es ist Som­mer und du kaufst ein Eis. Du er­in­nerst Dich, dass bei Eis­pa­ckun­gen im Su­per­markt die Menge an Eis in Li­tern an­ge­ge­ben ist. Das bringt Dich dazu, das Vo­lu­men in dei­ner Eis­tü­te be­stim­men zu wol­len!



Nach Dei­ner Mes­sung ist die Eis­tü­te 16cm hoch und die Öff­nung hat einen Durch­mes­ser von 6cm. Wie viel Liter Eis be­fin­den sich darin?



Lö­sung



Du be­nö­tigst den Ra­di­us r und die Höhe h des Ke­gels. Die Höhe ist di­rekt ge­ge­ben und der Ra­di­us ist der halbe Durch­mes­ser:

Be­rech­ne damit nun das Vo­lu­men.









d = 6cm

r = 3cm

h = 16cm



$V_{Kegel}=\frac{1}{3}\cdot A_G\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (3cm{)}^2\cdot 16cm=151c{m}^3$



Ant­wort: Die Eis­tü­te hat ein Vo­lu­men von 151 cm³.

Schaut euch dazu fol­gen­des Video an:

Warum ist das so?



Die Grund­flä­che G eines Ke­gels ist ein Kreis . Die Flä­che von einem Kreis er­hält man durch die For­mel $A_{Kreis}=\pi \cdot r^2$

Die Man­tel­flä­che M eines Ke­gels ist ein Kreis­sek­tor mit Ra­di­us s. Die Flä­che von die­sem Kreis­sek­tor er­hält man durch die For­mel $A_{Mantel}=\pi \cdot s^2\cdot \frac{\alpha }{360}$

Dabei ist α der Mit­tel­punkts­win­kel des Kreis­sek­tors. Die­ser ver­hält sich zu 360° wie die Kreis­bo­gen­län­ge, hier $2\cdot \pi \cdot r$, zum ge­sam­ten Um­fang eines Krei­ses mit Ra­di­us s. Also er­gibt sich für die Man­tel­flä­che:

$A_{Mantel}=\frac{2\cdot \pi \cdot r}{2\cdot \pi \cdot s}\cdot \pi \cdot s^2=\frac{r}{s}\cdot \pi \cdot s^2=\pi \cdot r\cdot s$

Bei­spiel



Be­trach­te den ge­ra­den Kegel. Der Ra­di­us der Grund­flä­che ist r=3cm und die Man­tel­li­nie s be­trägt 6cm.

Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt des Ke­gels.



Lö­sung



r = 3cm

s = 6 cm



$A_O=\pi \cdot r^2+\pi \cdot r\cdot s$

$A_O=\pi \cdot (3cm{)}^2+\pi \cdot 3cm\cdot 6cm=84,8c{m}^2$



Ant­wort: Der Ober­flä­chen­in­halt des Ke­gels be­trägt 84,8cm².