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  • 07.08.2025
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Ein­stieg

Man­che All­tags­ge­gen­stän­de haben an­nä­hernd die Ge­stalt eines Ke­gels. Hier ein paar Bei­spie­le:





Be­griffs­de­fi­ni­ti­on

Ein Kegel ist

  • ein drei­di­men­si­o­na­ler Kör­per, der ent­steht, wenn man

  • alle Punk­te eines Krei­ses

  • mit einem Punkt au­ßer­halb der Kreis­ebe­ne

ver­bin­det.





Der rich­ti­ge Aus­druck für die­sen Kör­per ist ei­gent­lich Kreis­ke­gel. In der hö­he­ren Ma­the­ma­tik wer­den näm­lich manch­mal auch Kegel be­trach­tet, deren Grund­flä­che kein Kreis ist.

In der Schu­le geht es in der Regel um ge­ra­de Kreis­ke­gel. Bei ge­ra­den Kreis­ke­geln liegt die Spit­ze des Ke­gels senk­recht über dem Mit­tel­punkt der Grund­flä­che.



Be­mer­kung:

Ein ge­ra­der Kreis­ke­gel ent­steht, wenn sich ein recht­wink­li­ges Drei­eck um eine sei­ner Sei­ten dreht.

Der ent­ste­hen­de Ro­ta­ti­ons­kör­per ist ein ge­ra­der Kreis­ke­gel.



Es gibt aber auch schie­fe Kreis­ke­gel, wie z.B. der rechts dar­ge­stell­te Kegel.



Vo­lu­men eines Ke­gels

Das Vo­lu­men eines Zy­lin­ders kennst du be­reits. Hier noch­mal zur Wie­der­ho­lung:





Schau dir fol­gen­des Video an und über­le­ge dir, wie man das Vo­lu­men eines Kreis­ke­gels be­rech­net (den Teil mit der Kugel kannst du igno­rie­ren, der folgt spä­ter):

Volumenformel für den Kegel
YouTube-Video
Vo­lu­men von Ke­geln

Das Vo­lu­men eines Ke­gels be­rech­net sich wie folgt:





mit



AG: Grund­flä­che des Ke­gels

h: Höhe des Ke­gels

r: Ra­di­us der Grund­flä­che G des Ke­gels

Kegel \- Volumen berechnen
YouTube-Video

Warum ist das so?

Die Grund­flä­che AG eines Ke­gels ist ein Kreis. Die Flä­che von einem Kreis er­hält man mit der For­mel AKreis=

Bei­spiel



Es ist Som­mer und du kaufst ein Eis. Du er­in­nerst Dich, dass bei Eis­pa­ckun­gen im Su­per­markt die Menge an Eis in Li­tern an­ge­ge­ben ist. Das bringt Dich dazu, das Vo­lu­men in dei­ner Eis­tü­te be­stim­men zu wol­len!



Nach Dei­ner Mes­sung ist die Eis­tü­te 16cm hoch und die Öff­nung hat einen Durch­mes­ser von 6cm. Wie viel Liter Eis be­fin­den sich darin?



Lö­sung



Du be­nö­tigst den Ra­di­us r und die Höhe h des Ke­gels. Die Höhe ist di­rekt ge­ge­ben und der Ra­di­us ist der halbe Durch­mes­ser:

Be­rech­ne damit nun das Vo­lu­men.









d = 6cm

r = 3cm

h = 16cm





Ant­wort: Die Eis­tü­te hat ein Vo­lu­men von 151 cm3.

Ober­flä­chen­in­halt eines Ke­gels

Schaut euch dazu fol­gen­des Video an:

Kegel \- Oberflächeninhalt berechnen
YouTube-Video
Ober­flä­chen­in­halt von Ke­geln

Der Ober­flä­chen­in­halt AO eines Ke­gels be­rech­net sich wie folgt:







Also:



mit



AO: Ober­flä­chen­in­halt des Ke­gels

AG: Grund­flä­che des Ke­gels

AM: Man­tel­flä­che des Ke­gels

s: Man­tel­li­nie am Kegel

r: Ra­di­us der Grund­flä­che des Ke­gels

Warum ist das so?



Die Grund­flä­che G eines Ke­gels ist ein Kreis . Die Flä­che von einem Kreis er­hält man durch die For­mel 

Die Man­tel­flä­che M eines Ke­gels ist ein Kreis­sek­tor mit Ra­di­us s. Die Flä­che von die­sem Kreis­sek­tor er­hält man durch die For­mel 

Dabei ist α der Mit­tel­punkts­win­kel des Kreis­sek­tors. Die­ser ver­hält sich zu 360° wie die Kreis­bo­gen­län­ge, hier , zum ge­sam­ten Um­fang eines Krei­ses mit Ra­di­us s. Also er­gibt sich für die Man­tel­flä­che:

Bei­spiel



Be­trach­te den ge­ra­den Kegel. Der Ra­di­us der Grund­flä­che ist r=3cm und die Man­tel­li­nie s be­trägt 6cm.

Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt des Ke­gels.



Lö­sung



r = 3cm

s = 6 cm





Ant­wort: Der Ober­flä­chen­in­halt des Ke­gels be­trägt 84,8cm2.

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