Häu­fig ste­cken wir be­stimm­te Men­schen in Schub­la­den, weil es unser Leben er­leich­tert. Dass dies nicht un­be­dingt gut ist, wurde hof­fent­lich im Ethik- oder Re­li­un­ter­richt hin­rei­chend be­spro­chen. In der Sta­tis­tik je­doch ist das an­ders. Hier ist es oft das ein­zi­ge Mit­tel be­son­ders gro­ßen Da­ten­sät­zen Herr zu wer­den. Dass dies zu Feh­lern füh­ren kann, nimmt man bil­li­gend in Kauf. Was tut man nicht alles für die Über­sicht­lich­keit.



Bei­spiel



Be­trach­ten wir ein Bei­spiel, bei dem wir fast schon wie­der ethi­sche Be­den­ken haben. Wir ka­te­go­ri­sie­ren Men­schen in Un­ter­ge­wicht, Nor­mal­ge­wicht, Über­ge­wicht und Adi­po­si­tas (Fett­lei­big­keit). Dies kann man mit Hilfe des so­ge­nann­ten BMI (body mass index) ma­chen. Er be­rech­net sich:



BMI = $\frac{m}{l^2}$ , wobei m die Masse in kg und $l$ die Kör­per­grö­ße in m ist.



Men­schen mit einem BMI von we­ni­ger als 18,5 haben Un­ter­ge­wicht, bis 25 ist Nor­mal­ge­wicht, bis 30 Über­ge­wicht und ab 30 Adi­po­si­tas.



Es er­ge­ben sich ma­the­ma­tisch also fol­gen­de Klas­sen (In­ter­val­le):



[0; 18,5[ [18,5;25[ [25;30[ und [30;[



Be­trach­ten wir nun eine Mess­rei­he der BMI von 10 Schü­lern: 203; 175; 314; 235; 273; 257; 194; 328; 229; 183



Nun ord­nen wir die Liste und tei­len sie in Klas­sen ein:





Eine wei­te­re gra­phi­sche Dar­stel­lung von Daten sind His­to­gram­me. Sie äh­neln dem Säu­len­dia­gramm, be­rück­sich­ti­gen je­doch die Klas­sen­brei­te.



Bei­spiel



Ein Pa­ket­dienst­leis­ter teilt die zu ver­sen­den­den Pa­ke­te in drei Klas­sen ein. Es wird je­weils die Summe aus der längs­ten und der kür­zes­ten Kante ge­bil­det. Pa­ket­grö­ße S haben Pa­ke­te mit einer Summe von 50cm, M von 70cm und L bis 1m. (Grö­ße­re Pa­ke­te wer­den nicht ver­sandt.)



Ein Pa­ket­shop hat fol­gen­den Ta­ges­ver­sand an Pa­ke­ten mit einer Kan­ten­län­gen­sum­me in cm.



47; 57; 95; 43; 56; 74; 21; 45; 63; 36; 57; 61; 83; 55; 55; 67; 33; 57



Hier die Zah­len­fol­ge sor­tiert von klein nach groß:



21 ; 33 ; 36 ; 43 ; 45 ; 47 ; 55 ; 55 ; 56 ; 57 ; 57 ; 57 ; 61 ; 63 ; 67 ; 74 ; 83 ; 95



Ein Klas­sen­ein­tei­lung sieht dann wie folgt aus:

Im letz­ten Ka­pi­tel haben wir fest­ge­stellt, dass der Me­di­an häu­fig der Wert ist, der eine Mess­rei­he am bes­ten cha­rak­te­ri­siert, da er un­auf­fäl­lig gegen Aus­rei­ßer ist. Den­noch ist es ge­ra­de bei um­fang­rei­chen Mess­rei­hen nicht sinn­voll, diese nur durch einen ein­zi­gen La­ge­pa­ra­me­ter zu cha­rak­te­ri­sie­ren. Des­halb hat man sich über­legt, je­weils den Me­di­an der un­te­ren und der obe­ren Hälf­te der ge­ord­ne­ten Liste auch noch an­zu­ge­ben. Man nennt sie obe­res bzw. un­te­res Quar­til (lat.: quar­tum oder vier­te Teil). Der Me­di­an und die bei­den Quar­ti­le tei­len also die Mess­rei­he nun in vier glei­che Teile.

Bei­spiel



Be­trach­ten wir eine Mess­rei­he mit n = 7 Wer­ten, so er­gibt sich für das un­te­re Quar­til:



$0,25\ast n=0,25\ast 7=1,75$

$i=2$

$q_u=x_2$



Be­sitzt eine Mess­rei­he n = 9 Werte, so er­gibt sich:



$0,25\ast n=0,25\ast 9=2,25$

$i=3$

$q_u=x_3$

Wir run­den immer auf!



Liegt hin­ge­gen eine Mess­rei­he mit n = 8 Wer­ten vor, so rech­nen wir:

$0,25\ast n=0,25\ast 8=2$

$i=2$

$i+1=3$

$q_u=\frac{x_2+x_3}{2}$

Nun haben wir so viele Pa­ra­me­ter ken­nen­ge­lernt. Da kann man leicht die Über­sicht ver­lie­ren. Des­halb gibt es die so­ge­nann­ten Box­plots. Dabei han­delt es sich um Dia­gram­me, die die La­ge­pa­ra­me­ter aus dem letz­ten Ka­pi­tel über­sicht­lich dar­stel­len. Mi­ni­mum, Ma­xi­mum, Me­di­an und die bei­den Quar­ti­le wer­den für das Er­stel­len eines Box­plots be­nö­tigt. Ma­chen wir uns also an die Ar­beit.



Bei­spiel



Bei den Oly­mi­schen Spie­len 2012 in Lon­don ergab sich fol­gen­de Rang­lis­te beim Ku­gel­sto­ßen der Man­ner:

Wir sor­tie­ren na­tür­lich von klein nach groß. So er­gibt sich: 20,69; 20,71; 20,84; 20,93; 21,19; 21,23; 21,86; 21,89



Die Liste hat acht Werte, so­dass sich fur die La­ge­pa­ra­me­ter fol­gen­des er­gibt:

$z=\frac{x_4+x_5}{2}=\frac{20,93+21,19}{2}=21,06$

$x_{min}=20,69$

$q_u=\frac{x_2+x_3}{2}=\frac{20,71+20,84}{2}=20,78$

$q_o=\frac{x_6+x_7}{2}=\frac{21,86+20,93}{2}=21,55$

Nun kön­nen wir den Box­plot er­stel­len.

Um den Box­plot für un­se­re Ku­gel­sto­ßer zu zeich­nen, wäh­len­wir für 0,1m auf dem Rasen 5mm, also ein Käst­chen auf dem Pa­pier. Au­ßer­dem neh­men wir auch nur den Aus­schnitt, der uns wirk­lich in­ter­es­siert. Wir fan­gen dem­entspre­chend nicht bei 0m, son­dern bei 20,6m an.