Eine Kugel ist im drei­di­men­si­o­na­len Raum das, was im zwei­di­men­si­o­na­len Raum ein Kreis ist.

Jede Kugel hat einen Mit­tel­punkt M. Alle Punk­te auf der Ku­gel­ober­flä­che haben den glei­chen Ab­stand zu M. Die­ser Ab­stand r heißt Ra­di­us­län­ge.

Das Vo­lu­men einer Kugel lässt sich auf Basis des Vo­lu­mens eines Zy­lin­ders her­lei­ten. Wie das geht, er­fährst du hier:

Im an­de­ren Ka­pi­tel hast du be­reits ge­lernt, wie man das Vo­lu­men eines Zy­lin­ders be­rech­net. Die all­ge­mei­ne For­mel dazu lau­tet:



$V_{Zylinder}=A_G\cdot h=\pi \cdot r^2\cdot h$



Schau dir fol­gen­des Video an und über­le­ge dir an­schlie­ßend, wie man das Vo­lu­men einer Kugel be­rech­net:

Fülle den fol­gen­den Lü­cken­text aus:

Wenn ich eine Kugel, einen Kegel und einen Zy­lin­der mit glei­cher  be­trach­te, dann passt in eine Kugel   so viel Flüs­sig­keit wie in einen Kegel. Au­ßer­dem füllt der In­halt der Kugel  des In­halts vom Zy­lin­der.

Damit be­trägt die For­mel für den Flä­chen­in­halt des Ke­gels:

V_Kugel= ·A_g·h= ·$\pi$·r²·h

Die For­mel kann ich jetzt noch ein biss­chen ver­ein­fa­chen: Die Höhe einer Kugel be­trägt dem Zwei­fa­chen des Ra­di­us einer Kugel, d.h. h =  ·r. Wenn ich das jetzt in die For­mel oben ein­set­ze, kommt fol­gen­des her­aus:

V_Kugel= ·$\pi$·r²·2r= ·$\pi$·r³

Wenn man wis­sen möch­te, wie groß der Raum­in­halt einer Kugel ist, so muss man das Vo­lu­men be­rech­nen.





Bei­spiel



Be­rech­ne das Vo­lu­men einer Bil­lard­ku­gel, die einen Durch­mes­ser d von 57,2 mm hat.



Bevor du dei­nen ge­ge­be­nen Wert so­fort in die neue For­mel ein­setzt, musst du dir klar­ma­chen, dass sich ein Kreis und eine Kugel hin­sicht­lich Ra­di­us und Durch­mes­ser nicht un­ter­schei­den.

$r=$



$V_{Billardkugel}=$



Ant­wort: Das Vo­lu­men der Bil­lard­ku­gel be­trägt  .

Ver­ein­facht kann man sich eine Ober­flä­che wie einen Man­tel vor­stel­len, der sich um die geo­me­tri­sche Figur legt. Eine Zei­tungs­sei­te kann so zu einem Kegel ge­formt wer­den, wenn man sie rollt. Diese Flä­che er­gibt die Ober­flä­che.



Wenn man nun die Kugel in Farbe ein­taucht, so mar­kiert man des­sen Ober­flä­chen­in­halt. Mit­hil­fe die­ser Flä­che kann man z. B. aus­rech­nen, wie viel Gold man braucht, damit man die Kugel auf der Dach­spit­ze vom Olym­pia­turm ver­gol­den kann.





Ex­pe­ri­ment

Schau dir das Video zum Ex­pe­ri­ment an!



Ma­te­ri­al je Grup­pe:

-          1 Oran­ge

-          Li­ne­al

-          Wei­ßes A4 Pa­pier

-          Stift



1. Schält die Oran­ge und zer­teilt sie in 2 Hälf­ten.

2. Legt eine Hälf­te mit der fla­chen Seite nach unten auf ein Blatt Pa­pier und zeich­net einen Kreis. Malt ihn mit di­ckem Stift nach.

3. Nehmt die Scha­le und legt euren Kreis mit den Scha­len­stück­chen aus. Legt so, dass mög­lichst keine Lü­cken und keine Über­lap­pun­gen ent­ste­hen.

4. Ihr habt noch Scha­le übrig? Dann zeich­net einen wei­te­ren Kreis und fahrt fort wie in Schritt 3, bis alle Scha­len­stück­chen eurer Oran­ge in Krei­sen aus­ge­legt wur­den.

5. No­tiert, wie viele Krei­se ihr mit der Scha­le einer Oran­ge aus­le­gen konn­tet.





Ver­gleicht mit den an­de­ren Grup­pen. Wie lau­tet die For­mel für den Ober­flä­chen­in­halt einer Kugel in Ab­hän­gig­keit von r?

Bei­spiel



Ein of­fi­zi­el­ler Bas­ket­ball hat einen Ober­flä­chen­in­halt von 1809,56 cm². Wie groß ist dann der Ra­di­us r?

$O_{Basketball}=4\cdot \pi \cdot r^2$



Stel­le zu­nächst nach dem Wert $r^2$ um.



$r^2=$



Ziehe an­schlie­ßend die Wur­zel



$r=$



Setze die ge­ge­be­nen Werte ein



$r=$



Ant­wort: Der Ra­di­us eines Bas­ket­balls be­trägt also  .

Schau dir auch un­be­dingt das Video zur Kugel vom DorF­uchs an: