Eine Kugel ist im dreidimensionalen Raum das, was im zweidimensionalen Raum ein Kreis ist.
Jede Kugel hat einen Mittelpunkt M. Alle Punkte auf der Kugeloberfläche haben den gleichen Abstand zu M. Dieser Abstand r heißt Radiuslänge.
Das Volumen einer Kugel lässt sich auf Basis des Volumens eines Zylinders herleiten. Wie das geht, erfährst du hier:
Im anderen Kapitel hast du bereits gelernt, wie man das Volumen eines Zylinders berechnet. Die allgemeine Formel dazu lautet:
VZylinder=AG⋅h=π⋅r2⋅h
Angenommen, die Höhe eines Zylinders entspricht genau 2x dem Radius einer Kugel, also h=2r. Wie berechnet man jetzt das Volumen des Zylinders allgemein?
VZylinder=π⋅r2⋅h
mit h=2r folgt:
VZylinder=π⋅r2⋅2r=2⋅π⋅r3
Schau dir folgendes Video an und überlege dir anschließend, wie man das Volumen einer Kugel berechnet:
Wenn man wissen möchte, wie viel Rauminhalt eine Kugel hat, so muss man das Volumen berechnen.
Das Volumen einer Kugel berechnet sich wie folgt:
VKugel=34⋅π⋅r3
Beispiel
Berechne das Volumen einer Billardkugel, die einen Durchmesser d von 57,2 mm hat.
Bevor du deinen gegebenen Wert sofort in die neue Formel einsetzt, musst du dir klarmachen, dass sich ein Kreis und eine Kugel hinsichtlich Radius und Durchmesser nicht unterscheiden.
r=2d=257,2mm=28,6mm
VBillardkugel=34⋅π⋅(28,6mm)3=97991mm3≈98cm3
Vereinfacht kann man sich eine Oberfläche wie einen Mantel vorstellen, der sich um die geometrische Figur legt. Eine Zeitungsseite kann so zu einem Kegel geformt werden, wenn man sie rollt. Diese Fläche ergibt die Oberfläche.
Wenn man nun die Kugel in Farbe eintaucht, so markiert man dessen Oberflächeninhalt. Mithilfe dieser Fläche kann man z. B. ausrechnen, wie viel Gold man braucht, damit man die Kugel auf der Dachspitze vom Olympiaturm vergolden kann.
Experiment
Material je Gruppe:
- 1 Orange
- Lineal
- Weißes A4 Papier
- Stift
Schält die Orange und zerteilt sie in 2 Hälften.
Legt eine Hälfte mit der flachen Seite nach unten auf ein Blatt Papier und zeichnet einen Kreis. Malt ihn mit dickem Stift nach.
Nehmt die Schale und legt euren Kreis mit den Schalenstückchen aus. Legt so, dass möglichst keine Lücken und keine Überlappungen entstehen.
Ihr habt noch Schale übrig? Dann zeichnet einen weiteren Kreis und fahrt fort wie in Schritt 3, bis alle Schalenstückchen eurer Orange in Kreisen ausgelegt wurden.
Notiert, wie viele Kreise ihr mit der Schale einer Orange auslegen konntet.
Vergleicht mit den anderen Gruppen. Wie lautet die Formel für den Oberflächeninhalt einer Kugel in Abhängigkeit von r?
Der Oberflächeninhalt einer Kugel berechnet sich wie folgt:
AO=4⋅π⋅r2
Beispiel
Ein offizieller Basketball hat einen Oberflächeninhalt von (576⋅π)cm2. Wie groß ist dann der Radius r?
OBasketball=4⋅π⋅r2
Stelle zunächst nach dem Wert r2 um.
r2=4πOBasketball
Ziehe anschließend die Wurzel
r=4πOBasketball
Setze die Werte ein
r=4π576πcm2=12cm
Antwort: Der Radius eines Basketballs beträgt also 12 cm.
Schau dir auch unbedingt das Video zur Kugel vom DorFuchs an:
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