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  • 11.07.2025
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Ein­stieg

Eine Kugel ist im drei­di­men­si­o­na­len Raum das, was im zwei­di­men­si­o­na­len Raum ein Kreis ist.

Jede Kugel hat einen Mit­tel­punkt M. Alle Punk­te auf der Ku­gel­ober­flä­che haben den glei­chen Ab­stand zu M. Die­ser Ab­stand r heißt Ra­di­us­län­ge.

Ver­gleich von Kreis und Kugel

Vo­lu­men einer Kugel

Das Vo­lu­men einer Kugel lässt sich auf Basis des Vo­lu­mens eines Zy­lin­ders her­lei­ten. Wie das geht, er­fährst du hier:

Im an­de­ren Ka­pi­tel hast du be­reits ge­lernt, wie man das Vo­lu­men eines Zy­lin­ders be­rech­net. Die all­ge­mei­ne For­mel dazu lau­tet:





An­ge­nom­men, die Höhe eines Zy­lin­ders ent­spricht genau 2x dem Ra­di­us einer Kugel, also . Wie be­rech­net man jetzt das Vo­lu­men des Zy­lin­ders all­ge­mein?





mit  folgt:





Schau dir fol­gen­des Video an und über­le­ge dir an­schlie­ßend, wie man das Vo­lu­men einer Kugel be­rech­net:

Volumen Formel für die Kugel (Mathe Work 2.0)
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Vo­lu­men einer Kugel

Wenn man wis­sen möch­te, wie viel Raum­in­halt eine Kugel hat, so muss man das Vo­lu­men be­rech­nen.





Vo­lu­men einer Kugel

Das Vo­lu­men einer Kugel be­rech­net sich wie folgt:



Kugel \- Volumen berechnen
YouTube-Video

Bei­spiel



Be­rech­ne das Vo­lu­men einer Bil­lard­ku­gel, die einen Durch­mes­ser d von 57,2 mm hat.



Bevor du dei­nen ge­ge­be­nen Wert so­fort in die neue For­mel ein­setzt, musst du dir klar­ma­chen, dass sich ein Kreis und eine Kugel hin­sicht­lich Ra­di­us und Durch­mes­ser nicht un­ter­schei­den.



Ober­flä­chen­in­halt einer Kugel

Ver­ein­facht kann man sich eine Ober­flä­che wie einen Man­tel vor­stel­len, der sich um die geo­me­tri­sche Figur legt. Eine Zei­tungs­sei­te kann so zu einem Kegel ge­formt wer­den, wenn man sie rollt. Diese Flä­che er­gibt die Ober­flä­che.



Wenn man nun die Kugel in Farbe ein­taucht, so mar­kiert man des­sen Ober­flä­chen­in­halt. Mit­hil­fe die­ser Flä­che kann man z. B. aus­rech­nen, wie viel Gold man braucht, damit man die Kugel auf der Dach­spit­ze vom Olym­pia­turm ver­gol­den kann.





Video zum Experiment (Oberflächeninhalt einer Kugel)
Versuch für die Herleitung der Oberflächenformel einer Kugel.
YouTube-Video

Ex­pe­ri­ment



Ma­te­ri­al je Grup­pe:

-          1 Oran­ge

-          Li­ne­al

-          Wei­ßes A4 Pa­pier

-          Stift



  1. Schält die Oran­ge und zer­teilt sie in 2 Hälf­ten.

  2. Legt eine Hälf­te mit der fla­chen Seite nach unten auf ein Blatt Pa­pier und zeich­net einen Kreis. Malt ihn mit di­ckem Stift nach.

  3. Nehmt die Scha­le und legt euren Kreis mit den Scha­len­stück­chen aus. Legt so, dass mög­lichst keine Lü­cken und keine Über­lap­pun­gen ent­ste­hen.

  4. Ihr habt noch Scha­le übrig? Dann zeich­net einen wei­te­ren Kreis und fahrt fort wie in Schritt 3, bis alle Scha­len­stück­chen eurer Oran­ge in Krei­sen aus­ge­legt wur­den.

  5. No­tiert, wie viele Krei­se ihr mit der Scha­le einer Oran­ge aus­le­gen konn­tet.





Ver­gleicht mit den an­de­ren Grup­pen. Wie lau­tet die For­mel für den Ober­flä­chen­in­halt einer Kugel in Ab­hän­gig­keit von r?

Ober­flä­chen­in­halt einer Kugel

Der Ober­flä­chen­in­halt einer Kugel be­rech­net sich wie folgt:



Kugel \- Oberfläche berechnen
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Bei­spiel



Ein of­fi­zi­el­ler Bas­ket­ball hat einen Ober­flä­chen­in­halt von ()cm2. Wie groß ist dann der Ra­di­us r?



Stel­le zu­nächst nach dem Wert  um.





Ziehe an­schlie­ßend die Wur­zel





Setze die Werte ein





Ant­wort: Der Ra­di­us eines Bas­ket­balls be­trägt also 12 cm.

Schau dir auch un­be­dingt das Video zur Kugel vom DorF­uchs an:

Kugel: Volumen und Oberfläche (Mathe-Song)
YouTube-Video
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