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  • 14.07.2025
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Was ist eine lineare Funktion?

Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Form  hat, wobei  sein muss. Dabei ist  die Steigung der Funktion und  der -Achsenabschnitt.

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.



Welchen Einfluss hat die Steigung  auf den Verlauf des Graphen einer linearen Funktion?

Die Steigung  gibt an, wie weit sich der Graph einer linearen Funktion in -Richtung bewegt, wenn er sich um genau einen Schritt in -Richtung bewegt.

Die folgende Abbildung zeigt Funktionen der Form .

Die Steigung

 bedeutet, dass sich die Funktion  Schritte in -Richtung bewegt, wenn sie sich einen Schritt in

-Richtung bewegt.

−2−112x−2−112yoriginO
m = 0,5
m = 2
m = 1
−2−112x−2−112yoriginO
m = 0,5
m = 2
m = 1

Für  steigt der Graph der linearen Funktion. Je größer  ist, desto steiler verläuft der Graph der Funktion.

Die nächste Abbildung zeigt die Graphen linearer Funktionen, bei denen  negativ ist.

−2−112x−2−112yoriginO
m = -0,5
m = -2
m = -1
−2−112x−2−112yoriginO
m = -0,5
m = -2
m = -1

Für  fällt der Graph einer linearen Funktion.

Proportionale Funktionen

Lineare Funktionen, bei denen der -Achsenabschnitt null ist, die also die Form  haben, gehen immer durch den Ursprung. Sie werden auch als proportionale Funktionen bezeichnet.

Welchen Einfluss hat der -Achsenabschnitt  auf den Verlauf einer linearen Funktion?

Die folgende Abbildung zeigt Funktionen der Form .

−2−112x−2−112yoriginO
n = 2
n = -2
n = 0
−2−112x−2−112yoriginO
n = 2
n = -2
n = 0

Der -Achsenabschnitt  gibt an, wo die -Achse geschnitten wird. Für  wird der Graph der Funktion nach oben verschoben. Für  wird der Graph der Funktion nach unten verschoben.

Wie lässt sich eine Geradengleichung aufstellen?

Um die Funktionsgleichung einer linearen Funktion zu bestimmen, müssen zwei Informationen bekannt sein. Als Informationen eignen sich Punkte der Funktion, die Steigung  oder der

-Achsenabschnitt . Je nachdem, welche Informationen gegeben sind, ist ein unterschiedliches Vorgehen erforderlich.

Wenn der Graph der Funktion vorliegt, können die Informationen aus der Abbildung entnommen werden.

Beispielaufgabe

Bestimme die Funktionsgleichung der beschriebenen Funktion.

a) Der Graph der linearen Funktion schneidet die -Achse bei und geht durch den Punkt .

b) Die Punkte und liegen auf dem Graphen der linearen Funktion .

Rechenweg

a) 

Die Steigung  einer linearen Funktion lässt sich mit folgender Formel bestimmen, wenn zwei Punkte  und  gegeben sind:



b) 

Wie lässt sich die Nullstelle einer linearen Funktion bestimmen?

Für die Bestimmung einer Nullstelle wird die Funktion gleich Null gesetzt. So entsteht eine Gleichung, die nach aufgelöst werden kann.

Beispielaufgabe

Berechne die Nullstelle der Funktion .

Rechenweg

Wie lässt sich anhand der Funktionsgleichungen erkennen, wie zwei Geraden zueinander liegen?

Zwei Geraden verlaufen parallel zueinander, wenn sie die gleiche Steigung  haben. In allen anderen Fällen schneiden sie sich. Wenn sie sich senkrecht schneiden, ist das Produkt ihrer Steigungen .

Beispielaufgabe

Zeige, dass sich die Funktionen und senkrecht schneiden.

Rechenweg

Die Geraden schneiden sich senkrecht.

Wie lässt sich der Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen?

Um den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen, werden ihre Funktionsgleichungen gleichgesetzt. So entsteht eine Gleichung, die nach aufgelöst werden kann. Der Wert von wird in eine beliebige der beiden Funktionsgleichungen eingesetzt, um die -Koordinate des Schnittpunktes zu ermitteln.

Beispielaufgabe

Ermittle den Schnittpunkt der Funktionen und .

Rechenweg

x