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Wie­der­ho­lung: Li­ne­a­re Funk­ti­o­nen

Schau dir das Video von Da­ni­el Jung und das Video vom DorF­uchs an:

Lineare Funktionen, Übersicht | Mathe by Daniel Jung
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Lineare Funktionen (Mathe-Song DorFuchs )
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Li­ne­a­re Funk­ti­o­nen ver­ste­hen und lösen

Der Graph einer li­ne­a­ren Funk­ti­on ist immer eine Ge­ra­de.

Merk­wis­sen zu li­ne­a­ren Funk­ti­o­nen

- Die Funk­ti­ons­glei­chung lau­tet: f(x) = mx + n

- Die Stei­gung m gibt an, ob die Ge­ra­de steigt oder fällt

 m  0  die Ge­ra­de steigt

 m  0  die Ge­ra­de ist par­al­lel zur x-​Achse

 m  0  die Ge­ra­de fällt

- Die Va­ri­a­ble n (wird manch­mal auch als c oder b ge­schrie­ben) gibt den y-​Achsenabschnitt an, an dem die Ge­ra­de die

y-​Achse (y = n) schnei­det.

Also z.B. n = 2  Schnitt­punkt (0|2)

- Mit Hilfe des so­ge­nann­ten Stei­gungs­drei­eckes kann man die Stei­gung ein­zeich­nen.

- Li­ne­a­re Funk­ti­o­nen kön­nen als Funk­ti­ons­glei­chung, in einer Wer­te­ta­bel­le oder als Graph dar­ge­stellt wer­den.

Mit die­ser APP kannst du die li­ne­a­ren

Funk­ti­o­nen noch­mals üben.

1
Übung 1:
Hier siehst du den Gra­phen mit einem Stei­gungs­drei­eck. Über­le­ge dir, wel­chen Wert n hat und wie groß die Stei­gung m ist. Schrei­be die Funk­ti­ons­glei­chung auf.
Tipp: Lö­sung immer ab­de­cken!
2
Übung 2:
Er­gän­ze die Wer­te­ta­bel­le. Die Funk­ti­ons­glei­chung lau­tet: f(x) = 2x + 2

x

0

1

2

3

4

5

f(x) = y

6

8

3
Übung 3:
Hier siehst du einen wei­te­ren Gra­phen. Über­le­ge dir, wel­chen Wert c hat und wie groß die Stei­gung m ist. Zeich­ne das Stei­gungs­drei­eck ein und schrei­be die Funk­ti­ons­glei­chung auf.
4
Übung 4:
Hier siehst du drei ver­schie­de­ne Gra­phen.
Schrei­be den rich­ti­gen Buch­sta­ben in die Ta­bel­le
vor die je­wei­li­ge Funk­ti­on.
Zur Übung kannst du auch noch­mal die Stei­gungs­drei­ecke ein­zeich­nen.
Tipp

Die Stei­gung fin­dest du, indem

du von einem zum nächs­ten

Käst­chenschnitt­punkt gehst.

f(x) = x - 2 oder f(x) = 0,6 x - 2

f(x) = - x + 3 oder f(x) = - 1,5 x + 3

f(x) = 3x - 3

5
Übung 5:
Er­gän­ze die Wer­te­ta­bel­le. Die Funk­ti­ons­glei­chung lau­tet: f(x) = - x - 1

x

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

f(x) = y

Für  steigt der Graph der li­ne­a­ren Funk­ti­on. Je grö­ßer  ist, desto stei­ler ver­läuft der Graph der Funk­ti­on.

Die nächs­te Ab­bil­dung zeigt die Gra­phen li­ne­a­rer Funk­ti­o­nen, bei denen  ne­ga­tiv ist.

−2−112x−2−112yoriginO
m = -0,5
m = -2
m = -1
−2−112x−2−112yoriginO
m = -0,5
m = -2
m = -1

Für  fällt der Graph einer li­ne­a­ren Funk­ti­on.

Pro­por­ti­o­na­le Funk­ti­o­nen

Li­ne­a­re Funk­ti­o­nen, bei denen der -​Achsenabschnitt null ist, die also die Form  haben, gehen immer durch den Ur­sprung. Sie wer­den auch als pro­por­ti­o­na­le Funk­ti­o­nen be­zeich­net.

Wel­chen Ein­fluss hat der -​Achsenabschnitt  auf den Ver­lauf einer li­ne­a­ren Funk­ti­on?

Die fol­gen­de Ab­bil­dung zeigt Funk­ti­o­nen der Form 

−2−112x−2−112yoriginO
n = 2
n = -2
n = 0
−2−112x−2−112yoriginO
n = 2
n = -2
n = 0

Der -​Achsenabschnitt  gibt an, wo die -​Achse ge­schnit­ten wird. Für  wird der Graph der Funk­ti­on nach oben ver­scho­ben. Für  wird der Graph der Funk­ti­on nach unten ver­scho­ben.

Wie lässt sich eine Ge­ra­den­glei­chung auf­stel­len?

Um die Funk­ti­ons­glei­chung einer li­ne­a­ren Funk­ti­on zu be­stim­men, müs­sen zwei In­for­ma­ti­o­nen be­kannt sein. Als In­for­ma­ti­o­nen eig­nen sich Punk­te der Funk­ti­on, die Stei­gung  oder der

-​Achsenabschnitt . Je nach­dem, wel­che In­for­ma­ti­o­nen ge­ge­ben sind, ist ein un­ter­schied­li­ches Vor­ge­hen er­for­der­lich.

Wenn der Graph der Funk­ti­on vor­liegt, kön­nen die In­for­ma­ti­o­nen aus der Ab­bil­dung ent­nom­men wer­den.

Bei­spiel­auf­ga­be

Be­stim­me die Funk­ti­ons­glei­chung der be­schrie­be­nen Funk­ti­on.

a) Der Graph der li­ne­a­ren Funk­ti­on schnei­det die -​Achse bei und geht durch den Punkt .

b) Die Punk­te und lie­gen auf dem Gra­phen der li­ne­a­ren Funk­ti­on .

Re­chen­weg

a) 

Die Stei­gung  einer li­ne­a­ren Funk­ti­on lässt sich mit fol­gen­der For­mel be­stim­men, wenn zwei Punk­te  und  ge­ge­ben sind:



b) 

Wie lässt sich die Null­stel­le einer li­ne­a­ren Funk­ti­on be­stim­men?

Für die Be­stim­mung einer Null­stel­le wird die Funk­ti­on gleich Null ge­setzt. So ent­steht eine Glei­chung, die nach auf­ge­löst wer­den kann.

Bei­spiel­auf­ga­be

Be­rech­ne die Null­stel­le der Funk­ti­on .

Re­chen­weg

Wie lässt sich an­hand der Funk­ti­ons­glei­chun­gen er­ken­nen, wie zwei Ge­ra­den zu­ein­an­der lie­gen?

Zwei Ge­ra­den ver­lau­fen par­al­lel zu­ein­an­der, wenn sie die glei­che Stei­gung  haben. In allen an­de­ren Fäl­len schnei­den sie sich. Wenn sie sich senk­recht schnei­den, ist das Pro­dukt ihrer Stei­gun­gen .

Bei­spiel­auf­ga­be

Zeige, dass sich die Funk­ti­o­nen und senk­recht schnei­den.

Re­chen­weg

Die Ge­ra­den schnei­den sich senk­recht.

Wie lässt sich der Schnitt­punkt zwei­er Ge­ra­den be­stim­men?

Um den Schnitt­punkt zwei­er Ge­ra­den zu be­stim­men, wer­den ihre Funk­ti­ons­glei­chun­gen gleich­ge­setzt. So ent­steht eine Glei­chung, die nach auf­ge­löst wer­den kann. Der Wert von wird in eine be­lie­bi­ge der bei­den Funk­ti­ons­glei­chun­gen ein­ge­setzt, um die -​Koordinate des Schnitt­punk­tes zu er­mit­teln.

Bei­spiel­auf­ga­be

Er­mitt­le den Schnitt­punkt der Funk­ti­o­nen und .

Re­chen­weg

x