Die Normalenform einer Ebene lautet allgemein: $\left(\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right)\right)\circ \left(\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\\ n_3\end{array}\right)=0$



Ein Normalenvektor der Ebene wird berechnet, indem das Vektorprodukt der beiden Spannvektoren berechnet wird:



 $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{r}\text{-}1\\ 0\\ \text{-}1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{r}\text{-}5\\ 2\\ \text{-}2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}2\\ 3\\ \text{-}2\end{array}\right)$



Da der Stützvektor $A(1/0/3)$ in der Ebene liegt lautet die Normalengleichung der Ebene



$\left(\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)\right)\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -2\end{array}\right)=0$



Als Koordinatengleichung ergibt sich durch Ausmultiplizieren



$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -2\end{array}\right)=0$



$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -2\end{array}\right)$



$E:2x_1+3x_2-2x_3=\text{-}4$







Du kannst die Koordinatengleichung auch ohne Umweg über die Normalengleichung erstellen. Dazu berechnest du ebenfalls zuerst den Normalenvektor der Ebene, indem du das Vektorprodukt der beiden Spannvektoren berechnest:



$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{r}\text{-}1\\ 0\\ \text{-}1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{r}\text{-}5\\ 2\\ \text{-}2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}2\\ 3\\ \text{-}2\end{array}\right)$



Die Koordinaten des Normalenvektors werden in die Koordinatengleichung eingesetzt:



$E:n_1{x}_1+n_2{x}_2+n_3{x}_3=d$



$E:2x_1+3x_2-2x_3=d$



Der Stützvektor der Ebene $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ führt zu einem Punkt, der in der Ebene liegt. Seine Koordinaten können daher für $x_1$, $x_2$ und $x_3$ eingesetzt werden, um $d$ zu berechnen:



$2\cdot 1+3\cdot 0-2\cdot 3=d$

$d=\text{-}4$



Der Wert von $d$ wird in die Ebenengleichung eingesetzt. Nun liegt die Ebene als Koordinatengleichung vor:



$E:2x_1+3x_2-2x_3=\text{-}4$