Nullstellen von quadratischen Funktionen

Nullstelle

Die Stelle, an der ein Graph die x-Achse schneidet oder berührt, nennt man Nullstelle.

Angegeben wird dann die x-Koordinate.

An welcher Stelle schneidet der Graph die x-Achse? Gib die Koordinate an:

x_{0} =

Da dort, wo die x-Achse geschnitten wird, der zugehörige y-Wert

0

beträgt, schreibt man die Nullstelle manchmal auch in Form eines Punktes:

N (

∣0)

Der Punkt hat dann auf jeden Fall die y-Koordinate

0

. Man verwendet dann meistens die Abkürzung

N

für Nullstelle für den Punkt.

Betrachte den Graphen der Normalparabel

f (x) = x^{2}

Gib die Nullstelle in beiden Darstellungsformen an:
$x_{0} =$ und $N ($ $∣0)$
Was ist hier der richtige Begriff aus Deiner Sicht?
( ) der Graph schneidet die x-Achse
( ) der Graph berührt die x-Achse

Berühren oder schneiden

Man sagt der Graph berührt die x-Achse, wenn er in einer kleinen Umgebung links und rechts der Nullstelle oberhalb der x-Achse verläuft (oder unterhalb).

Man sagt, er schneidet die x-Achse, wenn er an der Nullstelle die x-Achse von oben nach unten oder von unten nach oben durchquert.

Zeichne in das Koordinatensystem Parabeln nach den Vorgaben ein!
Nutze am Besten unterschiedliche Farben.

eine Nullstelle, Graph verläuft oberhalb der x-Achse
eine Nullstelle, Graph verläuft unterhalb der x-Achse
zwei Nullstellen, Graph nach oben geöffnet
zwei Nullstellen, Graph nach unten geöffnet
zwei Nullstellen, Graph nach unten geöffnet
keine Nullstelle, Öffnung egal
drei Nullstelle, Öffnung egal

Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion

Abhängig davon, wie der Graph der quadratischen Funktion aussieht, gibt es 3 Varianten:

2
3
4

Genau 1 Nullstelle

Keine Nullstellen

Genau 2 Nullstellen

Nullstellen ablesen

Du kannst die Nullstellen also aus den jeweiligen Funktionsgraphen ablesen.

Die hat genau eine Nullstelle. Der Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse. Statt Schnittpunkt lässt sich in einem solchen Fall auch Berührungspunkt mit der x-Achse sagen.

Die hat ihren Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse und ist nach unten geöffnet. Daher schneidet sie die x-Achse an zwei Stellen. Es gibt also 2 Nullstellen.

Die hat gar keine Nullstellen.

Rechnerisches Bestimmen von Nullstellen

Anhand der Grafik der zweiten Funktion können wir zwar ablesen, dass diese zwei Nullstellen besitzt. Den genauen Wert können wir durch das Ablesen hier allerdings nicht genau bestimmen. Daher benötigen wir eine Möglichkeit zur genauen Berechnung von Nullstellen. Das folgt in einem anderen Kapitel.