Wie wir ge­lernt haben, sieht die ein­fachs­te Form einer Ex­po­nen­ti­al­funk­ti­on so aus: $f(x)=b^x$

Der Wachs­tums­fak­tor (=Basis) b ist dabei eine po­si­ti­ve, re­el­le Zahl. Al­ler­dings ist $b\ne 1$.

Ma­the­ma­tisch schreibt man: $b\in R^{+}$\{$1$}



Dabei gilt:



$b>1:$ Wachs­tum

$b<1:$ Zer­fall





Der Pa­ra­me­ter $c$ be­schreibt die Ver­schie­bung in Rich­tung der y-​Achse, da zu jedem Funk­ti­ons­wert der Wert von $c$ hin­zu­kommt. Das kennst du be­reits von li­ne­a­ren Funk­ti­o­nen (hier hieß der Pa­ra­me­ter n... wie er am Ende heißt, ist aber egal).



Dabei gilt:



c > 0: Ver­schie­bung in po­si­ti­ve y-​Richtung

c < 0: Ver­schie­bung in ne­ga­ti­ve y-​Richtung

Der Pa­ra­me­ter $a$ be­schreibt die Stre­ckung bzw. Stau­chung des Gra­phen in y-​Richtung um den Fak­tor $a$, da alle Funk­ti­ons­wer­te mit die­sem Fak­tor mul­ti­pli­ziert wer­den.



Dabei gilt:



a > 1: Stre­ckung des Gra­phen in y-​Richtung

a < 1: Stau­chung des Gra­phen in y-​Richtung

a < 0: Zu­sätz­li­che Spie­ge­lung des Gra­phen an der x-​Achse



Be­ach­te, dass der Graph immer durch den Punkt $P(0|a)$ ver­läuft.

Der Pa­ra­me­ter $d$ be­schreibt die Ver­schie­bung des Gra­phen in x-​Richtung um den Fak­tor d.



Dabei gilt:



d > 0: Ver­schie­bung in ne­ga­ti­ve x-​Richtung (z.B. $f(x)=2^{x+2}$)

d < 0: Ver­schie­bung in po­si­ti­ve x-​Richtung (z.B. $f(x)=2^{x-2}$)



Be­ach­te den Zu­sam­men­hang, dass die Ver­schie­bung bei einem ne­ga­ti­ven Vor­zei­chen in po­si­ti­ve x-​Richtung und bei einem po­si­ti­ven Vor­zei­chen in ne­ga­ti­ve x-​Richtung er­folgt.

Der Graph von $g$ ent­steht aus dem Gra­phen von $f$ durch ...

... Ver­schie­bung in y-​Richtung um $c\{\}$ genau dann, wenn $g(x)=f(x)+c$ gilt.

... Stre­ckung in y-​Richtung mit Fak­tor $a>0$ genau dann, wenn $g(x)=a\cdot f(x)$ gilt.

... Spie­ge­lung an der x-​Achse genau dann, wenn $g(x)=-f(x)$ gilt.

... Spie­ge­lung an der y-​Achse genau dann, wenn $g(x)=f(-x)$ gilt.