TitelPotenzgesetze
Autoranonym
veröffentlicht13.07.2025
FachMathematik
KompetenzbereichTerme
NiveaustufeR (Regelstandard)
Phase9
MaterialformInformation

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Sieh dir folgende Beispielrechnung an:

$2^{3} \cdot 2^{4} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{7}$

Schau dir jetzt einmal die Exponenten (Hochzahlen) der Ausgangsrechnung (also 3 und 4) und des Ergebnisses (also 7) an. Was stellst du fest?

Machen wir direkt noch ein Beispiel:

$7^{2} \cdot 7^{3} = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^{5}$

Solche Gesetzmäßigkeiten nennt man Potenzgesetze. Dieses Potenzgesetz regelt zum Beispiel, wie man Potenzen mit gleicher Basis multipliziert.

Schau dir jetzt folgende Rechnung an:

$\frac{3 ^{4}}{3 ^{3}} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{3}{1} = 3$

Schau dir jetzt wieder die Exponenten (Hochzahlen) der Ausgangsrechnung (also 4 und 3) und des Ergebnisses (also 1) an. Was stellst du fest? Die Regel beschreibt, wie man Exponenten mit gleicher Basis dividiert.

Es gibt eine ganze Reihe von Regeln im Zusammenhang mit Potenzen. Schau sie dir zum Beispiel im folgenden Video oder weiter unten in den Kästen an. Die Gesetze musst du nicht auswendig lernen, sondern verstehen, wie man darauf kommt. Dann kannst du sie auch besser anwenden.

ALLE Potenzgesetze mit Beispielen

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Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basen beibehält.

Beispiel:

$5^{2} \cdot 5^{3} = 5^{2 + 3} = 5^{5}$

$1 1^{5} \cdot 1 1^{- 8} = 1 1^{5 + (- 8)} = 1 1^{- 3}$

$0, 6^{- 10} \cdot 0, 6^{10} = 0, 6^{- 10 + 10} = 0, 6^{0} = 1$

Allgemein:

$a^{r} \cdot a^{s} = a^{r + s}$

Potenzen mit gleicher Basis dividieren

Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basen beibehält.

Beispiel:

$5^{3} : 5^{2} = 5^{3 - 2} = 5^{1} = 5$

$\frac{1 1 ^{8}}{1 1 ^{5}} = 1 1^{8 - 5} = 1 1^{3}$

$\frac{1 3 ^{2}}{1 3 ^{- 5}} = 1 3^{2 + 5} = 1 3^{7}$

Allgemein:

$a^{r} : a^{s} = a^{r - s}$

Potenzieren von Potenzen

Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält.

Beispiel:

$(7^{2})^{3} = 7^{2 \cdot 3} = 7^{6}$

$(3^{2})^{- 3} = 3^{2 \cdot (- 3)} = 3^{- 6} = \frac{1}{3 ^{6}}$

Allgemein:

$(a^{r})^{s} = a^{r \cdot s}$

Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren

Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält

Beispiel:

$7^{4} \cdot 5^{4} = (7 \cdot 5)^{4} = 3 5^{4}$

$(\frac{1}{4})^{7} \cdot (\frac{2}{3})^{7} = (\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3})^{7} = (\frac{2}{12})^{7} = (\frac{1}{6})^{7}$

Allgemein:

$a^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n}$

Potenzen mit gleichem Exponenten dividieren

Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält

Beispiel

$\frac{7 ^{4}}{5 ^{4}} = (\frac{7}{5})^{4}$

$12 1^{- 4} : 1 1^{- 4} = (\frac{121}{11})^{- 4} = 1 1^{- 4} = \frac{1}{1 1 ^{4}}$

Allgemein:

$\frac{a ^{n}}{b ^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}$

Potenzgesetze (DorFuchs-Song)

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