Zwei Ober­stu­fen­schü­ler Max und Mo­ritz aus Geit­hain ver­glei­chen ihre Stun­den­plä­ne. Beide habe 34 Wo­chen­stun­den. Diese sind je­doch sehr un­ter­schied­lich ver­teilt (An­ga­ben in Stun­den).

Wenn du nun be­wer­ten soll­test, wel­cher Stun­den­plan der bes­ser ist, dann fiele dir die Ent­schei­dung ver­mut­lich leicht.



Möch­te man das mit Hilfe un­se­rer La­ge­pa­ra­me­ter arith­me­ti­sche Mit­tel, Me­di­an, Mi­ni­mum und Ma­xi­mum nach­wei­sen, so stellt man fest, dass alle Pa­ra­me­ter gleich sind:









Wir brau­chen also noch einen wei­te­ren Steu­ungs­pa­ra­me­ter: Die Stan­dard­ab­wei­chung s. Um diese je­doch zu de­fi­nie­ren, hat man einen Zwi­schen­wert bei der Be­rech­nung ein­ge­führt: Die Va­ri­anz $s^2$. Sie ist der mitt­le­re qua­dra­ti­sche Ab­stand vom arith­me­ti­schen Mit­tel. Das klingt kom­pli­ziert, ist es aber nicht.



Wir neh­men die Dif­fe­renz der ein­zel­nen Mess­wer­te vom arith­me­ti­schen Mit­tel $\bar{x}$ = 6,8 für den Stun­den­plan von Max. Also er­gibt sich:

4 - 6,8 = -2,8

6 - 6,8 = -0,8

4 - 6,8 = -2,8

10 - 6,8 = 3,2

10 - 6,8 = 3,2

Nun hat man so­wohl po­si­ti­ve als auch ne­ga­ti­ve Werte. Um dies zu ver­mei­den, hielt man es für sinn­vol­ler, an­statt Be­trags­stri­che zu set­zen, die Werte zu qua­drie­ren. An­schlie­ßend sum­miert man die Werte auf und di­vi­diert durch n (An­zahl der Werte), um den Mit­tel­wert zu bil­den.

$Varianz(s^2)=\frac{(-2,8{)}^2+(-0,8{)}^2+(-2,8{)}^2+3,2^2+3,2^2}{5}=7,4$

Um nun die Qua­dra­ti­on rück­gän­gig zu man­chen, zieht man die Wur­zel und er­hält die Stan­dard­ab­wei­chung s.

$Standardabweichungs=\sqrt{s^2}=\sqrt{7,4}=2,7$

Die er­rech­ne­te Stan­dard­ab­wei­chung be­deu­tet, dass die Werte von Max im Mit­tel um 2,7 vom arith­me­ti­schen Mit­tel (Durch­schnitt) ab­wei­chen.

Be­rech­nen wir nun die Va­ri­anz und Stan­dard­ab­wei­chung für den Stun­den­plan von Mo­ritz:



$s^2=\frac{(6-6,8{)}^2+(10-6,8{)}^2+(4-6,8{)}^2+(6-6,8{)}^2}{5}=3,9$

$s=\sqrt{3,9}=2,0$

Wir sehen also, dass die Stan­dard­ab­wei­chung bei Mo­ritz (s = 2,0) klei­ner ist als die bei Max (s = 2,7), so dass man dar­aus schlie­ßen kann, dass Mo­ritz Stun­den­zahl we­ni­ger vom Mit­tel­wert ab­weicht als die von Max.