Welche Seiten gibt es in einem rechtwinkligen Dreieck?

Die Seite, die in einem rechtwinkligen Dreieck dem rechten Winkel gegenüberliegt, wird Hypotenuse genannt. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck. Die Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten. In der Grafik ist die grüne Kathete die Ankathete vom Winkel $\alpha$ und die rote Kathete die Gegenkathete von $\alpha$.

Was sind Winkelfunktionen?

Die Abbildung zeigt zwei ähnliche Dreiecke. Das kleine Dreieck wurde um den Faktor 2 vergrößert. Dabei ist das große Dreieck entstanden. Alle Dreiecksseiten im großen Dreieck sind doppelt so lang wie im kleinen Dreieck:

$2a=a^{\prime };2b=b^{\prime };2c=c^{\prime }$

Die Größe der Winkel hat sich dabei jedoch nicht geändert:

$\alpha ={\alpha }^{\prime };\beta ={\beta }^{\prime };\gamma ={\gamma }^{\prime }=90°$



Wird die Länge einer Seite durch die Länge einer anderen Seite geteilt, spricht man vom Verhältnis der beiden Seiten. Für das Verhältnis der Seiten $b$ und $c$ lässt sich $\frac{b}{c}$ schreiben, entsprechend ist das Verhältnis der Seiten $b^{\prime }$ und $c^{\prime }$ nichts anderes als $\frac{b^{\prime }}{c^{\prime }}$.

Es gilt: $\frac{b^{\prime }}{c^{\prime }}=\frac{2b}{2c}=\frac{b}{c}$.



Offenbar ändert die Vergrößerung des Dreiecks nichts am Verhältnis der Seiten. Solange die Größe des Winkels $\alpha$ nicht verändert wird, bleibt das Verhältnis der an $\alpha$ anliegenden Seiten im rechtwinkligen Dreieck gleich. Dieses Verhältnis wird als Winkelfunktion bezeichnet, da es nur von der Größe des eingeschlossenen Winkels abhängt.

Das Verhältnis der Ankathete eines Winkels zur Hypotenuse wird Kosinus des Winkels genannt und mit cos abgekürzt. In diesen Dreiecken gilt: $cos\alpha =\frac{b}{c}$ beziehungsweise $cos\alpha =\frac{b^{\prime }}{c^{\prime }}$.

Welche Winkelfunktionen gibt es?

Neben dem Kosinus gibt es auch noch die Winkelfunktionen Sinus und Tangens. Die Formeln zum Berechnen der Winkelfunktionen gelten in allen rechtwinkligen Dreiecken.

Wie lässt sich mithilfe von bekannten Seiten der Kosinus, Sinus oder Tangens bestimmen?

Um das Verhältnis zweier Seiten im rechtwinkligen Dreieck zu bestimmen, werden die Seiten in die Formel eingesetzt.

Wie lässt sich aus einem bekannten Seitenverhältnis die Größe eines Winkels bestimmen?

Um aus einem Seitenverhältnis auf die Größe eines Winkels zu schließen, werden die Tasten $co{s}^{\text{-}1}$, $si{n}^{\text{-}1}$ oder $ta{n}^{\text{-}1}$ auf dem Taschenrechner benötigt.