Lösung

Um den Abstand an einer beliebigen Stelle zu bestimmen, wird die Differenzfunktion von $f(x)$ und $g(x)$ bestimmt:



$\begin{array}{rl}d(x)=& f(x)-g(x)\\ =& \text{-}0,5x^3+3x^2-5x+5-(\text{-}1,5x^2+7x-6)\\ =& \text{-}0,5x^3+4,5x^2-12x+11\end{array}$

Gesucht ist der Tiefpunkt der Differenzfunktion. Daher wird die Funktion auf Extrempunkte untersucht. Die erste und zweite Ableitung sind:



$d^{\prime }(x)=\text{-}1,5x^2+9x-12$

$d^{\prime \prime }(x)=\text{-}3x+9$



Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt lautet:



$d^{\prime }(x)=0$



Daraus ergibt sich die Gleichung:



$\text{-}1,5x^2+9x-12=0$



Um die Gleichung zu lösen, wird die pq-Formel angewendet:



$\begin{array}{rlrl}\text{-}1,5x^2+9x-12& =& 0& |:(\text{-}1,5)\\ x^2-6x+8& =& 0& \\ p=\text{-}6,q=8& & & \end{array}$

$x_{1,2}=-\left(\frac{p}{2}\right)\pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}$

$x_{1,2}=-\left(\frac{\text{-}6}{2}\right)\pm \sqrt{{\left(\frac{\text{-}6}{2}\right)}^2-8}$

$x_1=2,x_2=4$



Die hinreichende Bedingung für einen Extremwert lautet:



$d^{\prime \prime }(x)\ne 0$



Einsetzen der $x$-Werte in die zweite Ableitung führt zu:



$d^{\prime \prime }(2)=\text{-}3\cdot 2+9=3>0\Rightarrow$ Tiefpunkt

$d^{\prime \prime }(4)=\text{-}3\cdot 4+9=\text{-}3<0\Rightarrow$ Hochpunkt



Da der Tiefpunkt gesucht ist, wird nur $x_1$ weiter untersucht. Der $y$-Wert wird bestimmt, indem der $x$-Wert in die Funktion eingesetzt wird:



$d(2)=\text{-}0,5\cdot 2^3+4,5\cdot 2^2-12\cdot 2+11=1$



$T(2|1)$



Da ein Intervall für die Untersuchung vorgegeben ist, muss sichergestellt werden, dass der Abstand an den Intervallgrenzen nicht geringer ist als am berechneten Punkt. Um das zu prüfen, werden die Intervallgrenzen in die Differenzfunktion eingesetzt:



$d(0)=\text{-}0,5\cdot 0^3+4,5\cdot 0^2-12\cdot 0+11=11$

$d(5)=\text{-}0,5\cdot 5^3+4,5\cdot 5^2-12\cdot 5+11=1$



Die Rechnung zeigt, dass der Abstand zwar an der ersten Intervallgrenze größer ist, an der zweiten Intervallgrenze ist er jedoch gleich groß. Somit hat der geringste Abstand der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ im Intervall $I=[0;5]$ die Größe $1$ und wird an den Stellen $x=2$ und $x=5$ erreicht.