• Aufgaben aus dem Abitur
  • MNWeG
  • 04.02.2022
  • Mathematik
  • Gleichungen
  • Einzelarbeit
  • Gelingensnachweis
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Die folgenden Aufgaben zeigen exemplarisch, wie das Thema in der Abiturprüfung abgefragt werden kann. Die Aufgaben 1 bis 3 stammen aus dem Pflichtteil. Für die Lösung der Aufgaben sind keine Hilfsmittel zugelassen.

1
Gegeben sind die Geraden g ⁣:x=( 3-33)+r ( 34-1)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 3\\\text{-}3\\3\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 3\\4\\\text{-}1\end{array} \right) und
h ⁣:x=( 3-33)+s ( 5-33)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 3\\\text{-}3\\3\end{array} \right) + s\ · \left( \begin{array}{r} \ 5\\\text{-}3\\3\end{array} \right) mit r,s ϵ R\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} r, s\ \epsilon\ \R.

a) (1) Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g und h\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h an.
(2) Zeigen Sie, dass g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g und h\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h senkrecht zueinander verlaufen.

b) Die Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E enthält die Geraden g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g und h\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h. Bestimmen Sie eine Gleichung von E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E in Koordinatenform.

(Konvolut Leistungsfach Mathematik ab 2023, Baden-Württemberg)

2
Gegeben ist die Ebene
E ⁣:x1+x2+2x3=24\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: x_1+x_2+2x_3 = 24 und die Gerade g ⁣:x=( 21-2)+t ( 2-1-3)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 2\\1\\\text{-}2\end{array} \right) + t\ · \left( \begin{array}{r} \ 2\\\text{-}1\\\text{-}3\end{array} \right) mit t ϵ R\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} t\ \epsilon\ \R.

a) Zeichnen Sie in die Abbildung die Schnittgerade von E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E mit der x2x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2x_3-Ebene ein.

b) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E und g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g.

(Konvolut Leistungskurs Mathematik Abitur 2021, Baden-Württemberg)

3
Gegeben ist die Ebene E ⁣:2x1+x22x3=-18\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: 2x_1+x_2-2x_3 = \text{-}18.

a) Der Schnittpunkt von E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E mit der x1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1-Achse, der Schnittpunkt von E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E mit der x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2-Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

b) Ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E als auch der Ortsvektor eines Punkts der Ebene ist.

(Konvolut Leistungskurs Mathematik Abitur 2021, Baden-Württemberg)

Für die Aufgaben 4 bis 7 darf ein Taschenrechner und die mathematische Merkhilfe für die Abiturprüfung in Baden Württemberg benutzt werden.

Du findest sie hier:

4
Gegeben ist der Punkt R(4-24)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} R(4|\text{-2}|4) und die Ebenenschar Ek ⁣:kx1+kx2+x3=14\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E_k\!: kx_1+kx_2+x_3 = 14 mit k ϵ R\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} k\ \epsilon\ \R.

a) (1) Beschreiben Sie die besondere Lage der Ebene E0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E_0 im Koordinatensystem.
(2) Bestimmen Sie diejenige Schar, die den Punkt R\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} R enthält.
(3) Zeigen Sie, dass es eine Gerade g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g gibt, die in allen Ebenen der Schar liegt.

b) Gegeben sind die Spurpunkte S1(700)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_1 (7|0|0), S2(070)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_2 (0|7|0) und S3(0014)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_3 (0|0|14) einer Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E.
(1) Begründen Sie, dass die Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E eine Ebene der Schar ist.
(2) Betrachtet wird ein gerader Kegel mit der Spitze S3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_3, dessen Grundkreis in der x1x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1x_2-Ebene liegt. Die Punkte S1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_1 und S2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_2 liegen auf dem Grundkreis. Untersuchen Sie, ob der Punkt R\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} R innerhalb des Kegels liegt.
(3) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, die den Kegel in der Strecke S1S3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overline{S_1S_3} berührt.

(Konvolut Leistungskurs Mathematik Abitur 2021, Baden-Württemberg)

5
Gegeben sind die Punkte A(610)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A(6|1|0), B(45-4)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} B(4|5|\text{-}4) und C(-282)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} C(\text{-}2|8|2).
(1) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} ABC bei B\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} B einen rechten Winkel besitzt.
(2) Die drei Punkte liegen in einer Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E. Bestimmen Sie die Koordinatengleichung von E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E.
(3) Es gibt einen Punkt D\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} D, für den das Viereck ABCD\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} ABCD ein Rechteck ist. Ermitteln Sie die Koordinaten von D\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} D.

(Konvolut Leistungskurs Mathematik Abitur 2021, Baden-Württemberg)

6
Zwei Schülerinnen lösen dasselbe lineare Gleichungssystem. Sie erhalten die Lösungsmengen L1={(2r;1+r;3r)rϵ R}\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} L_1=\{(2-r;1+r;3-r)|r\epsilon\ \R\} bzw. L2={(1s;-s;4+s)sϵ R}\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} L_2=\{(1-s; \text{-}s;4+s)|s\epsilon\ \R\}.
Untersuchen Sie, ob diese Lösungsmengen identisch sind.

(Konvolut Leistungskurs Mathematik Abitur 2021, Baden-Württemberg)

7
Gegeben ist die Ebenenschar Ek ⁣:3x1+kx2kx3=6\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E_k\!: 3x_1+kx_2-kx_3 = 6 (k ϵ R\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} k\ \epsilon\ \R) sowie die Gerade g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g durch die Punkte P(477)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P(4|7|7) und Q(129)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Q(1|2|9).

a) Untersuchen Sie die Ebenen Ek\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E_k der Schar auf Parallelität zur Geraden g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g und Orthogonalität zur Geraden g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g.

b) (1) Bestimmen Sie k\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} k so, dass Ek\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E_k orthogonal zu E1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E_1 ist.
(2) Untersuchen Sie, ob es eine Ebene Ek\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E_k gibt, die zu keiner anderen Ebene der Schar orthogonal ist.

c) (1) Zeigen Sie, dass es eine Gerade h\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h gibt, die in allen Ebenen Ek\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E_k liegt.
(2) Ermitteln Sie die Gleichung einer Ebene F\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F, die h\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h enthält, aber nicht zur Ebenenschar Ek\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E_k gehört.

d) Untersuchen Sie, welche Punkte der x2x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2x_3-Ebene in keiner Ebene Ek\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E_k liegen.

(Konvolut Leistungskurs Mathematik Abitur 2021, Baden-Württemberg)

Lösungen
1. a1) S(3-33)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S (3|\text{-}3|3)
a2) Nachweis mithilfe des Skalarproduktes:


( 34-1)( 5-33)=15123=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \ 3\\ 4\\\text{-}1\end{array} \right) \cdot\left( \begin{array}{r} \ 5\\\text{-}3\\3\end{array} \right) = 15-12-3=0


b) E:9x114x229x3=-18\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E: 9x_1-14x_2-29x_3 = \text{-}18

3. a) Schnittpunkte von E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E mit der x1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1 und x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2-Achse: S1(-900)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_1 (\text{-}9|0|0) und S2(0-180)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_2 (0|\text{-}18|0)
Flächeninhalt: A=0,5918=81\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A = 0{,}5 \cdot 9 \cdot 18 = 81

b) Für jeden Normalenvektor von E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E gilt: n=( 2rr-2r)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{n} = \left( \begin{array}{r} \ 2r\\r\\\text{-}2r\end{array} \right) mit r ϵ R\{0}\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} r\ \epsilon\ \R \backslash\{0\}
22r+r2(-2r)=-18 r=-2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 2 \cdot 2r + r - 2 \cdot (\text{-}2r) = \text{-}18\ \rArr r = \text{-}2


n=( -4-24)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{n} = \left( \begin{array}{r} \ \text{-}4\\\text{-}2\\4\end{array} \right)

2. a)


b) S(021)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S (0|2|1)

Lösungen
4. a1) Die Ebene E0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E_0 ist parallel zur x1x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1x_2-Ebene.


a2) Eine Punktprobe von R\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} R in Ek\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E_k führt zu der Gleichung 4k2k+4=14\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 4k-2k+4=14 mit der Lösung
k=5\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} k=5. Die Ebene E5\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E_5 enthält den Punkt R\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} R.


a3) Die Gerade wird ermittelt, indem die Schnittgerade zweier beliebiger Ebenen der Ebenenschar bestimmt wird. Der Schnitt von E0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E_0 und E1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E_1 führt zum LGS


I.     1x3=   14I ⁣I.   1x1+  1x2+  1x3=   14\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.\ \ &&&\ &&\ \ 1x_3&=&\ \ \ 14\\ I\!I.\ \ &\ 1x_1&+&\ \ 1x_2&+&\ \ 1x_3&=&\ \ \ 14\\ \end{aligned}

mit der Lösungsmenge L={t;-t,14}\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} L = \{t; \text{-}t, 14\}.
Daraus lässt sich die Gerade g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g aufstellen:


g:x=( x1x2x3)=( t-t14)=( 0+1t01t14+0t)=( 0014)+t ( 1-10)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ x_1\\x_2\\x_3\end{array} \right)=\left( \begin{array}{r} \ t\\\text{-}t\\14\end{array} \right)=\left( \begin{array}{r} \ 0+1t\\0-1t\\14+0t\end{array} \right)=\left( \begin{array}{r} \ 0\\0\\14\end{array} \right) + t\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\\text{-}1\\0\end{array} \right)


Die Gerade g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g liegt in jeder Ebene der Schar, da für jedes k ϵ R\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} k\ \epsilon\ \R und jedes t ϵ R\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} t\ \epsilon\ \R eine wahre Aussage entsteht:

k(0+t)+k(0t)+14=14\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} k \cdot (0+t)+k\cdot(0-t) +14=14
14=14   \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 14=14 \ \ \ \checkmark


b1) Punktprobe S1 ϵ Ek\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_1\ \epsilon\ E_k liefert k=2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} k=2. Punktproben ergeben, dass S2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_2 und S3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_3 ebenfalls in der Ebene E2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E_2 liegen.


b2) Aus den Spurpunkten ergibt sich, dass der Grundkreis den Mittelpunkt O(000)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} O (0|0|0) und den Radius r=7\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} r=7 hat. Durch die Punkte S3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_3 und R\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} R wird eine Hilfsgerade aufgestellt:


g ⁣:x=( 0014)+t ( 4-2-10)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 0\\0\\14\end{array} \right) + t\ · \left( \begin{array}{r} \ 4\\\text{-}2\\\text{-}10\end{array} \right)


Nun wird geprüft, ob der Spurpunkt der Hilfsgeraden in der x1x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1x_2-Ebene innerhalb des Grundkreises liegt. Als Spurpunkt ergibt sich P(5,6-2,80)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P(5{,}6|\text{-}2{,}8|0). Der Abstand zum Mittelpunkt ist OP=5,62+(-2,8)2+026,62\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} |\overrightarrow{OP} | = \sqrt{5{,}6^2+ (\text{-}2{,}8)^2+0^2} ≈6{,}62


Da 6,62<r\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 6{,}62 <r liegt P\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P innerhalb des Grundkreises und somit der Punkt R\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} R innerhalb des Kegels.

Lösungen

b3) Die gesuchte Ebene F\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F enthält die Punkte S1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_1 und S3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_3 und ist parallel zur x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2-Achse. Der Normalenvektor n\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{n} lässt sich als Vektorprodukt der Vektoren S1S3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{S_1S_3} und einem Vektor, der in
x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2-Richtung zeigt, bestimmen:


( -102)×( 010)=( -20-1)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \ \text{-}1\\0\\2\end{array} \right) \times \left( \begin{array}{r} \ 0\\1\\0\end{array} \right)=\left( \begin{array}{r} \ \text{-}2\\0\\\text{-}1\end{array} \right)


Mit dem Normalenvektor und dem Punkt S3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_3 ergibt sich die Ebenengleichung:
F:2x1+x3=14\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F: 2x_1+x_3=14


5. (1) BA BC=( 2-44)( -636)=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{BA}\ \cdot \overrightarrow{BC}= \left( \begin{array}{r} \ 2\\\text{-}4\\4\end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{r} \ \text{-}6\\3\\6\end{array} \right)=0


(2) E:2x1+2x2+x3=14\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E: 2x_1+2x_2+x_3=14


(3) d=a+BC=( 046)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{d} = \overrightarrow{a}+ \overrightarrow{BC} = \left( \begin{array}{r} \ 0\\4\\6\end{array} \right); D(046)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} D(0|4|6)


6. Die beiden Lösungsmengen lassen sich als Geraden interpretieren:


g ⁣:x=( 213)+t ( 11-1)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 2\\1\\3\end{array} \right) + t\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\1\\\text{-}1\end{array} \right)


Die Untersuchung der Geraden zeigt, dass diese identisch sind. Somit sind auch die Lösungsmengen identisch.

Lösungen

7. a) Untersuchung auf Parallelität
Normalenvektor der Ebenenschar:


n=( 3k-k)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{n} = \left( \begin{array}{r} \ 3\\k\\\text{-}k\end{array} \right)


Wenn die Ebene und die Gerade parallel zueinander sind, müssen der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zueinander sein, also ein Skalarprodukt haben, das null ist.

nPQ=( 3k-k)( -3-52)=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{PQ} = \left( \begin{array}{r} \ 3\\k\\\text{-}k\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{r} \ \text{-}3\\\text{-}5\\2\end{array} \right)=0


-95k2k=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \text{-}9-5k-2k=0
k=-97\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} k =\text{-} \frac{9}{7}


Die Ebene E-97\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E_{\text{-} \frac{9}{7}} und die Gerade g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g sind parallel zueinander.


Untersuchung auf Orthogonalität
Die Gerade und die Ebene sind orthogonal zueinander, wenn der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden linear abhängig sind:


rn=PQ\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} r \cdot\overrightarrow{n} = \overrightarrow{PQ}


r( 3k-k)=( -3-52)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} r\cdot\left( \begin{array}{r} \ 3\\k\\\text{-}k\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} \ \text{-}3\\\text{-}5\\2\end{array} \right)


I.   3r=  -3r=-1I ⁣I.  rk=  -5k=5I ⁣I ⁣I. -rk=   2k=2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.\ \ &\ 3r&=&\ \ \text{-3} \rArr r=\text{-}1\\ I\!I.\ &\ rk&=&\ \ \text{-}5 \rArr k =5\\ I\!I\!I.\ &\text{-}rk&=&\ \ \ 2\rArr k =2\\ \end{aligned}


Da sich für k\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} k unterschiedliche Werte ergeben, gibt es einen Widerspruch. Keine Ebene der Ebenenschar Ek\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E_k ist orthogonal zu g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g.


Richtungsvektor der Geraden:


PQ=( -3-52)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{PQ} = \left( \begin{array}{r} \ \text{-}3\\\text{-}5\\2\end{array} \right)

Lösungen

7. b1) E1:3x1+1x21x3=6\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E_1: 3x_1+1x_2-1x_3=6

n1nk=( 31-1)( 3k-k)=0    k=-92\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_k} = \left( \begin{array}{r} \ 3\\1\\\text{-}1\end{array} \right) \cdot\left( \begin{array}{r} \ 3\\k\\\text{-}k\end{array} \right)=0\ \ \rArr\ \ k=\text{-}\frac{9}{2}


Die Ebene E-92\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E_{\text{-} \frac{9}{2}} ist orthogonal zu E1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E_1.


b2) nk1nk2=( 3k1-k1)( 3k2-k2)=0    9+2k1k2=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{n_k}_{1} \cdot \overrightarrow{n_k}_{2} = \left( \begin{array}{r} \ 3\\k_1\\\text{-}k_1\end{array} \right) \cdot\left( \begin{array}{r} \ 3\\k_2\\\text{-}k_2\end{array} \right)=0\ \ \rArr\ \ 9+2k_1k_2=0


Für k1=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} k_1=0 ergibt sich für die Gleichung 9+2k1k2=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 9+2k_1k_2=0 ein Widerspruch. Somit ist die Ebene E0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E_0 zu keiner anderen Ebene der Schar orthogonal.


c1) Für die Schnittgerade der Ebenen E0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E_0 und E1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E_1 ergibt sich:


h ⁣:x=( 200)+t ( 011)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 2\\0\\0\end{array} \right) + t\ · \left( \begin{array}{r} \ 0\\1\\1\end{array} \right)


Die Schnittgerade wird in die Ebenenschar eingesetzt:

32+ktkt=6\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 3\cdot2+k\cdot t-k\cdot t = 6
6=6  \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 6=6\ \ \checkmark


Es entsteht eine wahre Aussage, die Schnittgerade liegt in allen Ebenen der Schar.


c2) Alle Ebenen, die die Gerade h\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h enthalten, enthalten den Punkt R(200)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} R(2|0|0). Darüber hinaus ist ihr Normalenvektor senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden. Alle Vektoren der Form
n=( ak-k)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{n} = \left( \begin{array}{r} \ a\\k\\\text{-}k\end{array} \right) erfüllen diese Bedingung. In der Ebenenschar Ek\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E_k ist a=3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a=3. Somit muss für den Normalenvektor der Ebene F\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F gelten: a3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a≠3. Eine mögliche Lösung ist:


F ⁣:(x( 200))( 01-1)=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F\!: \left(\overrightarrow{x}-\left( \begin{array}{r} \ 2\\0\\0\end{array} \right) \right) \cdot \left( \begin{array}{r} \ 0\\1\\\text{-}1\end{array} \right) = 0

Hinweis

Da der Nullvektor kein Normalenvektor sein kann, dürfen a\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a und k\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} k nicht beide null sein.

Lösungen

7. d) Für alle Punkte der x2x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2x_3-Ebene gilt: S(0x2x3)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S(0|x_2|x_3). Mit diesem Punkt wird eine Punktprobe durchgeführt:
30+kx2kx3=6\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 3\cdot0+kx_2-kx_3 = 6
kx2kx3=6\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} kx_2-kx_3 = 6
k(x2x3)=6\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} k\cdot(x_2-x_3) = 6
Für x2=x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2=x_3 hat diese Gleichung keine Lösung.


Somit sind die Punkte, die in keiner Ebene der Schar liegen, alle Punkte für die gilt: S(0x2x2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S(0|x_2|x_2) mit x2 ϵ R\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2 \ \epsilon\ \R.