• Aufgaben aus dem Abitur
  • MNWeG
  • 04.02.2022
  • Mathematik
  • Gleichungen
  • Einzelarbeit
  • Gelingensnachweis
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Die folgenden Aufgaben zeigen exemplarisch, wie das Thema in der Abiturprüfung abgefragt werden kann. Die Aufgaben 1 bis 3 stammen aus dem Pflichtteil. Für die Lösung der Aufgaben sind keine Hilfsmittel zugelassen.

1
Gegeben sind die Geraden und
mit .

a) (1) Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von und an.
(2) Zeigen Sie, dass und senkrecht zueinander verlaufen.

b) Die Ebene enthält die Geraden und . Bestimmen Sie eine Gleichung von in Koordinatenform.

(Konvolut Leistungsfach Mathematik ab 2023, Baden-Württemberg)

2
Gegeben ist die Ebene
und die Gerade mit .

a) Zeichnen Sie in die Abbildung die Schnittgerade von mit der -Ebene ein.

b) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von und .

(Konvolut Leistungskurs Mathematik Abitur 2021, Baden-Württemberg)

3
Gegeben ist die Ebene .

a) Der Schnittpunkt von mit der -Achse, der Schnittpunkt von mit der -Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

b) Ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von als auch der Ortsvektor eines Punkts der Ebene ist.

(Konvolut Leistungskurs Mathematik Abitur 2021, Baden-Württemberg)

Für die Aufgaben 4 bis 7 darf ein Taschenrechner und die mathematische Merkhilfe für die Abiturprüfung in Baden Württemberg benutzt werden.

Du findest sie hier:



4
Gegeben ist der Punkt und die Ebenenschar mit .

a) (1) Beschreiben Sie die besondere Lage der Ebene im Koordinatensystem.
(2) Bestimmen Sie diejenige Schar, die den Punkt enthält.
(3) Zeigen Sie, dass es eine Gerade gibt, die in allen Ebenen der Schar liegt.

b) Gegeben sind die Spurpunkte , und einer Ebene .
(1) Begründen Sie, dass die Ebene eine Ebene der Schar ist.
(2) Betrachtet wird ein gerader Kegel mit der Spitze , dessen Grundkreis in der -Ebene liegt. Die Punkte und liegen auf dem Grundkreis. Untersuchen Sie, ob der Punkt innerhalb des Kegels liegt.
(3) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, die den Kegel in der Strecke berührt.

(Konvolut Leistungskurs Mathematik Abitur 2021, Baden-Württemberg)

5
Gegeben sind die Punkte , und .
(1) Zeigen Sie, dass das Dreieck bei einen rechten Winkel besitzt.
(2) Die drei Punkte liegen in einer Ebene . Bestimmen Sie die Koordinatengleichung von .
(3) Es gibt einen Punkt , für den das Viereck ein Rechteck ist. Ermitteln Sie die Koordinaten von .

(Konvolut Leistungskurs Mathematik Abitur 2021, Baden-Württemberg)

6
Zwei Schülerinnen lösen dasselbe lineare Gleichungssystem. Sie erhalten die Lösungsmengen bzw. .
Untersuchen Sie, ob diese Lösungsmengen identisch sind.

(Konvolut Leistungskurs Mathematik Abitur 2021, Baden-Württemberg)

7
Gegeben ist die Ebenenschar () sowie die Gerade durch die Punkte und .

a) Untersuchen Sie die Ebenen der Schar auf Parallelität zur Geraden und Orthogonalität zur Geraden .

b) (1) Bestimmen Sie so, dass orthogonal zu ist.
(2) Untersuchen Sie, ob es eine Ebene gibt, die zu keiner anderen Ebene der Schar orthogonal ist.

c) (1) Zeigen Sie, dass es eine Gerade gibt, die in allen Ebenen liegt.
(2) Ermitteln Sie die Gleichung einer Ebene , die enthält, aber nicht zur Ebenenschar gehört.

d) Untersuchen Sie, welche Punkte der -Ebene in keiner Ebene liegen.



(Konvolut Leistungskurs Mathematik Abitur 2021, Baden-Württemberg)

Lösungen

1. a1)

a2) Nachweis mithilfe des Skalarproduktes:





b)





3. a) Schnittpunkte von mit der und -Achse: und

Flächeninhalt:

b) Für jeden Normalenvektor von gilt: mit



2. a)

















b)

Lösungen

4. a1) Die Ebene ist parallel zur -Ebene.



a2) Eine Punktprobe von in führt zu der Gleichung mit der Lösung

. Die Ebene enthält den Punkt .



a3) Die Gerade wird ermittelt, indem die Schnittgerade zweier beliebiger Ebenen der Ebenenschar bestimmt wird. Der Schnitt von und führt zum LGS



mit der Lösungsmenge .

Daraus lässt sich die Gerade aufstellen:





Die Gerade liegt in jeder Ebene der Schar, da für jedes und jedes eine wahre Aussage entsteht:



b1) Punktprobe liefert . Punktproben ergeben, dass und ebenfalls in der Ebene liegen.



b2) Aus den Spurpunkten ergibt sich, dass der Grundkreis den Mittelpunkt und den Radius hat. Durch die Punkte und wird eine Hilfsgerade aufgestellt:





Nun wird geprüft, ob der Spurpunkt der Hilfsgeraden in der -Ebene innerhalb des Grundkreises liegt. Als Spurpunkt ergibt sich . Der Abstand zum Mittelpunkt ist



Da liegt innerhalb des Grundkreises und somit der Punkt innerhalb des Kegels.



Lösungen

b3) Die gesuchte Ebene enthält die Punkte und und ist parallel zur -Achse. Der Normalenvektor lässt sich als Vektorprodukt der Vektoren und einem Vektor, der in

-Richtung zeigt, bestimmen:







Mit dem Normalenvektor und dem Punkt ergibt sich die Ebenengleichung:





5. (1)



(2)



(3) ;





6. Die beiden Lösungsmengen lassen sich als Geraden interpretieren:





Die Untersuchung der Geraden zeigt, dass diese identisch sind. Somit sind auch die Lösungsmengen identisch.

Lösungen

7. a) Untersuchung auf Parallelität

Normalenvektor der Ebenenschar:





Wenn die Ebene und die Gerade parallel zueinander sind, müssen der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zueinander sein, also ein Skalarprodukt haben, das null ist.







Die Ebene und die Gerade sind parallel zueinander.



Untersuchung auf Orthogonalität

Die Gerade und die Ebene sind orthogonal zueinander, wenn der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden linear abhängig sind:









Da sich für unterschiedliche Werte ergeben, gibt es einen Widerspruch. Keine Ebene der Ebenenschar ist orthogonal zu .



Richtungsvektor der Geraden:



Lösungen

7. b1)





Die Ebene ist orthogonal zu .



b2)



Für ergibt sich für die Gleichung ein Widerspruch. Somit ist die Ebene zu keiner anderen Ebene der Schar orthogonal.





c1) Für die Schnittgerade der Ebenen und ergibt sich:





Die Schnittgerade wird in die Ebenenschar eingesetzt:



Es entsteht eine wahre Aussage, die Schnittgerade liegt in allen Ebenen der Schar.





c2) Alle Ebenen, die die Gerade enthalten, enthalten den Punkt . Darüber hinaus ist ihr Normalenvektor senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden. Alle Vektoren der Form

erfüllen diese Bedingung. In der Ebenenschar ist . Somit muss für den Normalenvektor der Ebene gelten: . Eine mögliche Lösung ist:





Hinweis

Da der Nullvektor kein Normalenvektor sein kann, dürfen und nicht beide null sein.

Lösungen

7. d) Für alle Punkte der -Ebene gilt: . Mit diesem Punkt wird eine Punktprobe durchgeführt:

Für hat diese Gleichung keine Lösung.



Somit sind die Punkte, die in keiner Ebene der Schar liegen, alle Punkte für die gilt: mit .





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