a) Die Aussage ist wahr. Die allgemeine Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist:



$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$



Die Ableitungen sind:



$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$

$f^{\prime \prime }(x)=6ax+2b$



Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist:



$f^{\prime \prime }(x)=0$



Daraus folgt die Gleichung:



$6ax+2b=0$



Diese Gleichung ist immer eindeutig lösbar, sofern $a\ne 0$ ist. Das ist gegeben. Wäre $a=0$ würde es sich nicht um eine Funktion dritten Grades handeln.



b) Die Aussage ist falsch. Die allgemeine Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion vierten Grades ist



$f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$



Die erste Ableitung lautet:



$f(x)=4a{x}^3+3b{x}^2+2cx+d$



Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist:



$f^{\prime }(x)=0$



Daraus folgt die Gleichung:



$4a{x}^3+3b{x}^2+2cx+d=0$



Eine solche Gleichung kann bis zu drei Lösungen haben. Es können aber auch weniger sein. So hat die Gleichung zum Beispiel für $a\ne 0$, $b=c=d=0$ nur eine Lösung. Die korrekte Aussage wäre daher: Jede ganzrationale Funktion vierten Grades hat höchstens drei Extrempunkte.