• Besondere Ebenen
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  • 04.02.2022
  • Mathematik
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-7-6-5-4-3-2-112345678x₂-5-4-3-2-1123x₃originOE-4-3-2-1231x₁

Im Koordinatensystem ist eine besondere Ebene eingezeichnet. Diese Ebene enthält den Ursprung und ist senkrecht zur x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_3-Achse. Da sie die x1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1-Achse und die x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2-Achse enthält, wird sie auch als x1x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1x_2-Ebene bezeichnet.

Um für diese Ebene eine Ebenengleichung aufzustellen, kann der Ursprung als Stützvektor verwendet werden. Die Spannvektoren zeigen in die Richtung der enthaltenen Achsen:


E ⁣:x=( 000)+r ( 100)+s ( 010)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 0\\0\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\0\\0\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ 0\\1\\0\end{array} \right)


Der Nullvektor darf auch weggelassen werden:


E ⁣:x=r ( 100)+s ( 010)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \overrightarrow{x} = r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\0\\0\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ 0\\1\\0\end{array} \right)


Neben dieser einfachen Darstellung sind natürlich auch andere Darstellungen der Ebene zulässig, so lange die Regeln zum Aufstellen von Ebenengleichungen beachtet werden. Ein Beispiel für eine Ebenengleichung, die die gleiche Ebene beschreibt, ist:


E ⁣:x=( 2-30)+r ( 110)+s ( 2-10)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 2\\\text{-}3\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\1\\0\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ 2\\\text{-}1\\0\end{array} \right)


Bei allen Darstellungen der x1x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1x_2-Ebene ist der x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_3-Wert beim Stützvektor und den Richtungsvektoren jedoch 0.

Ebenen, die den Ursprung und zwei Koordinatenachsen enthalten, werden als Koordinatenebenen bezeichnet. Neben der x1x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1x_2-Ebene gibt es auch noch die x2x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2x_3-Ebene und die x1x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1x_3-Ebene.

-7-6-5-4-3-2-112345678x₂-5-4-3-2-1123x₃originOGFE231x₁
Die Ebenengleichung der x2x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2x_3-Ebene ist:

F ⁣:x=r ( 010)+s ( 001)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F\!: \overrightarrow{x} = r\ · \left( \begin{array}{r} \ 0\\1\\0\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ 0\\0\\1\end{array} \right)

Für die x1x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1x_3-Ebene lautet die Ebenengleichung entsprechend:

G ⁣:x=r ( 100)+s ( 001)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} G\!: \overrightarrow{x} = r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\0\\0\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ 0\\0\\1\end{array} \right)