Was ist ein Skalarprodukt?

Ein Skalarprodukt ist eine mathematische Verknüpfung von zwei Vektoren. Dabei werden die Koordinaten der beteiligten Vektoren zeilenweise multipliziert und anschließend addiert. Das Ergebnis einer Skalarmultiplikation ist immer eine Zahl und kein Vektor.

Wie wird ein Skalarprodukt berechnet?

Die Formel für die Berechnung des Skalarproduktes von Vektoren mit zwei Koordinaten lautet:



$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{r}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{r}{b}_1\\ b_2\end{array}\right)=a_1{b}_1+a_2{b}_2$



Für Vektoren mit drei Koordinaten ergibt sich entsprechend:



$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{r}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{r}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right)=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$

Lösung



Aufgabe 1



a)

(1) $\left(\begin{array}{r}\text{-}1\\ 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{r}3\\ 1\end{array}\right)=0$



(2) $\left(\begin{array}{r}\text{-}2\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{r}0\\ 4\end{array}\right)=8$



(3) $\left(\begin{array}{r}\text{-}2\\ \text{-}2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{r}3\\ 0\end{array}\right)=\text{-}6$



(4) $\left(\begin{array}{r}\text{-}2\\ 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{r}6\\ 4\end{array}\right)=0$



(5) $\left(\begin{array}{r}\text{-}2\\ 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{r}3\\ 0\end{array}\right)=\text{-}6$

b) Bei (1) und (4) schließen die Vektoren einen rechten Winkel ein.



c) Wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, ist ihr Skalarprodukt null.