Arbeitsauftrag

Erarbeite dir die Regeln zum Strecken und Stauchen der Sinusfunktion in

$x$ -Richtung, indem du die folgenden Aufgaben bearbeitest. Wenn du nicht weiter kommst, findest du die Lösungen am Ende des Dokuments.

Die Abbildung zeigt die Sinusfunktion $f (x) = s in x$ sowie eine zugehörige Wertetabelle.

$x$

1

0,5π

2

3

π

4

1,5π

5

6

2π

7

8

$f (x)$

0,84

1

0,91

0,14

0

-0,76

-1

-0,96

-0,28

0

0,66

0,99

π

2π

3π

1

a) Erstelle die Wertetabelle zu der Funktion

g (x) = s in 2 x

und zeichne die Funktion.

$x$

1

0,5π

2

3

π

4

1,5π

5

6

2π

7

8

$g (x)$

π

2π

3π

b) Beschreibe, wie sich die Graphen der Funktionen

f (x)

und

g (x)

unterscheiden.

2

a) Erstelle die Wertetabelle zu der Funktion

h (x) = s in 0, 5 x

und zeichne die Funktion.

$x$

1

0,5π

2

3

π

4

1,5π

5

6

2π

7

8

$h (x)$

π

2π

3π

b) Beschreibe, wie sich die Graphen der Funktionen

f (x)

und

h (x)

unterscheiden.

3

a) Erstelle die Wertetabelle zu der Funktion

i (x) = s in (- 0, 5 x)

und zeichne die Funktion.

$x$

1

0,5π

2

3

π

4

1,5π

5

6

2π

7

8

$i (x)$

π

2π

3π

b) Beschreibe, wie sich die Graphen der Funktionen

f (x)

und

i (x)

unterscheiden.

4

Die Abbildungen zeigen die Graphen einiger Funktionen. Ordne die Funktionsgleichungen den Abbildungen zu.

$j (x) = s in 4 x$

$k (x) = s in 0, 8 x$

$m (x) = s in (- 0, 8 x)$

$l (x) = s in 1, 5 x$

(2)

(1)

(3)

(4)

5

Der Faktor

b

in der Sinusfunktion

f (x) = s in b x

sorgt dafür, dass der Graph der Funktion im Vergleich zur Funktion

f (x) = s in x

in

x

-Richtung gestreckt oder gestaucht wird. Formuliere Merksätze, für welche Werte von

b

die Funktion wie verändert wird.

Der Faktor $b$ sorgt für eine Veränderung der Periodenlänge $T$ . Wenn $b$ bekannt ist, kann mithilfe der folgenden Formel die Periodenlänge $T$ bestimmt werden.

Bestimmung von T

$T = \frac{2 π}{b}$

Beispielaufgabe

Bestimme die Periodenlänge der Funktion $f (x) = s in 1, 2 x$ und zeichne die Funktion.

Lösung

$b = 1, 2$

$T = \frac{2 π}{b}$

$T = \frac{2 π}{1 , 2} \approx 5, 24$

Umgekehrt kann $b$ bestimmt werden, wenn die Periodenlänge bekannt ist. Diese muss gegebenenfalls aus dem Graphen einer Funktion abgelesen werden.

Bestimmung von b

$b = \frac{2 π}{T}$

Beispielaufgabe

Die Abbildung zeigt den

Graphen einer Funktion

der Form $g (x) = s in b x$ .

Bestimme ihre Funktions-

gleichung.

Lösung

$T = 6$

$b = \frac{2 π}{T}$

$b = \frac{2 π}{6} = \frac{1}{3} π$

$g (x) = s in \frac{1}{3} π x$

Lösung

1

a)

$x$

1

0,5π

2

3

π

4

1,5π

5

6

2π

7

8

$g (x)$

0,91

0

-0,76

-0,28

0

0,99

0

-0,54

0

0,99

-0,29

π

2π

3π

b) Die Funktion $g (x)$ ist im Vergleich zu $f (x)$ in $x$ -Richtung gestaucht.

2

a)

$x$

1

0,5π

2

3

π

4

1,5π

5

6

2π

7

8

$h (x)$

0,48

0,71

0,84

1

0,91

0,71

0,60

0,14

0

-0,35

-0,76

π

2π

3π

b) Die Funktion $h (x)$ ist im Vergleich zu $f (x)$ in $x$ -Richtung gestreckt.

3

a)

$x$

1

0,5π

2

3

π

4

1,5π

5

6

2π

7

8

$i (x)$

-0,48

-0,71

-0,84

-1

-0,91

-0,71

-0,60

-0,14

0

0,35

0,76

π

2π

3π

b) Die Funktion $i (x)$ ist im Vergleich zu $f (x)$ in $x$ -Richtung gestreckt und an der $x$ -Achse gespiegelt.

4

(1)

l (x)

; (2)

k (x)

; (3)

j (x)

; (4)

m (x)

5

Für die Funktion

f (x) = s in b x

mit

b \neq = 0

gilt:
Für

∣ b ∣ > 1

wird der Graph der Funktion in

x

-Richtung gestaucht, für

∣ b ∣ < 1

wird er in

x

-Richtung gestreckt. Für

b < 0

wird der Graph der Funktion an der

x

-Achse gespiegelt.