• Die Koordinatengleichung
  • MNWeG
  • 04.02.2022
  • Mathematik
  • Vektoren
  • 12
  • Einzelarbeit
  • Arbeitsblatt
Um die Lizenzinformationen zu sehen, klicken Sie bitte den gewünschten Inhalt an.
Reflektionsfragen

Bevor du mit den Aufgaben beginnst, solltest du kurz über die folgenden Fragen nachdenken. Wenn du zu einer Frage keine Idee hast, lies noch einmal in der INFO nach.


\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \rArr Wie heißen diese beiden Darstellungsformen von Ebenen?


E ⁣:x=( 103)+r ( 100)+s ( 00-1)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\0\\3\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\0\\0\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ 0\\0\\\text{-}1\end{array} \right)


E ⁣:2x1+3x22x3= -4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: 2x_1+3x_2-2x_3 = \ \text{-} 4


\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \rArr Was ist ein Normalenvektor?
\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \rArr Wie lässt sich ein Normalenvektor einer Ebene bestimmen?
\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \rArr Wie wird der Wert d\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} d berechnet?
\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \rArr Was bedeutet es, wenn bei einer Punktprobe eine wahre Aussage entsteht?

1
Die drei Punkte A(192)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A(1|9|2), B(147)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} B(1|4|7) und C(3-25)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} C(3|\text{-}2|5) legen die Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E eindeutig fest.
Gib eine Parametergleichung und eine Koordinatengleichung von E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E an.
z. B. E ⁣:x=( 192)+r ( 0-55)+s ( 2-113)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\9\\2\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 0\\\text{-}5\\5\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ 2\\\text{-}11\\3\end{array} \right)


E ⁣:4x1+1x2+1x3= 15\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: 4x_1+1x_2+1x_3 = \ 15
2
Gegeben ist die Ebene E ⁣:3x12x26x3= -5\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: 3x_1-2x_2-6x_3 = \ \text{-} 5.
a) Gib einen Normalenvektor der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E an.
b) Untersuche, welcher der Punkte P(-1-21)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P(\text{-}1|\text{-}2|1), Q(304)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Q(3|0|4) und R(110)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} R(1|1|0) in der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E liegt.
a) z. B. n=( 3-2-6)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{n} = \left( \begin{array}{r} \ 3\\\text{-}2\\\text{-}6\end{array} \right)


b) P\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P liegt in E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E. Q\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Q und R\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} R liegen nicht in E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E.
3
Gib drei Punkte an, die in der Ebene E ⁣:4x11x2+2x3= 4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: 4x_1-1x_2+2x_3 = \ 4 liegen.
z. B. P(100)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P(1|0|0), Q(0-21)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Q(0|\text{-}2|1) und R(002)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} R(0|0|2)
4
Untersuche, ob die vier Punkte A(415)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A(4|1|5), B(643)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} B(6|4|3), C(1-20)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} C(1|\text{-}2|0) und D(0-2-7)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} D(0|\text{-}2|\text{-}7) in einer Ebene liegen.

Die vier Punkte liegen in der Ebene E ⁣:-21x1+16x2+3x3=-53\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \text{-}21x_1+16x_2+3x_3 = \text{-}53
5
Beschreibe die besondere Lage der Ebene E:2x1+4x2=6\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E: 2x_1+4x_2=6 im Koordinatensystem.
Die Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E liegt parallel zur x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_3-Achse.
6
Ermittle eine Koordinatengleichung der beschriebenen Ebene. Verwende für die Rechnungen dein Heft.

a) Der Punkt A(162)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A(1|6|2) liegt in der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E. Sie hat den Normalenvektor n=( 212)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{n} = \left( \begin{array}{r} \ 2\\1\\2\end{array} \right).

b) Die Gerade g:x=( 20-2)+r ( 123)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 2\\0\\\text{-}2\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\2\\3\end{array} \right) schneidet die Ebene F\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F senkrecht im Punkt B(321)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} B(3|2|1).

c) Die Ebene G\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} G enthält die beiden sich schneidenden Geraden
g:x=( 31-1)+r ( 497)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 3\\1\\\text{-}1\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 4\\9\\7\end{array} \right) und g:x=( 57-5)+r ( 246)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 5\\7\\\text{-}5\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 2\\4\\6\end{array} \right).

d) Die Ebene H\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} H enthält den Punkt C(911-7)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} C(9|11|\text{-7}) und die Gerade
g:x=( 1-2-3)+r ( 111)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\\text{-}2\\\text{-}3\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\1\\1\end{array} \right).

e) Die Ebene J\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} J ist die x1x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1x_3-Ebene.
a) z. B. E ⁣:2x1+1x2+2x3= 12\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: 2x_1+1x_2+2x_3 = \ 12

b) z. B. F ⁣:1x1+2x2+3x3=10\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F\!: 1x_1+2x_2+3x_3 = 10

c) z. B. G ⁣:-28x1+10x2+2x3=70\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} G\!: \text{-}28x_1+10x_2+2x_3 = 70

d) z. B. H ⁣:-17x1+12x2+5x3=-56\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} H\!: \text{-}17x_1+12x_2+5x_3 = \text{-}56

e) z. B. x2=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2=0