• Die Normalengleichung
  • MNWeG
  • 04.02.2022
  • Mathematik
  • Vektoren
  • 12
  • Arbeitsblatt
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1
Gegeben sind die Ebenen , und .






a) Gib an, in welcher Darstellungsform die Ebenen angegeben wurden.
b) Bestimme für die Ebenengleichungen jeweils die beiden fehlenden Gleichungen. Nutze für die Berechnungen dein Heft.
a) Ebene liegt als Koordinatengleichung vor, Ebene ist eine Normalengleichung und Ebene ist durch eine Parametergleichung gegeben.
b) Hinweis: Alle Ebenengleichungen sind Beispiele. Alternativ sind andere Gleichungen möglich, die die gleiche Ebene beschreiben.














2
Gib die Normalengleichung der beschriebenen Ebene an. Nutze für die Berechnungen dein Heft.
a) Die Ebene enthält den Punkt und hat den Normalenvektor .
b) Die Ebene enthält die Punkte , und .
c) Die Ebene ist parallel zu -Ebene enthält den Punkt .
d) Die Gerade schneidet die Ebene senkrecht im Punkt .
e) Die Ebene enthält die Gerade und den Punkt .
a) z. B.


b) z. B.


c) z. B.


d) z. B.


e) z. B.
3
Die Spiegelung des Punktes an der Ebene ergibt den Punkt . Bestimme eine Normalengleichung der Ebene .
Der Normalenvektor lässt sich als Verbindungsvektor bestimmen:



Ein Punkt der in der Ebene liegt, ist der Mittelpunkt von und .






Nun lässt sich eine Normalengleichung der Ebene aufstellen:


4
Gegeben ist die Gerade sowie die Punkte und .
a) Die Gerade enthält die Punkte und . Stelle eine zugehörige Geradengleichung auf.
b) Zeige, dass bei der Rotation der Geraden um die Gerade eine Ebene entsteht.
c) Bestimme eine Normalengleichung der Ebene .
a)

b) Es wird untersucht, wie die beiden Geraden zueinander liegen.

Die Richtungsvektoren sind nicht linear abhängig:



Im zweiten Schritt werden die Geradengleichungen gleichgesetzt:



Lösen des LGS führt zu und . Damit lässt sich der Schnittpunkt bestimmen. Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt .

Das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren wird berechnet:



Da das Skalarprodukt null ist, stehen die beiden Richtungsvektoren senkrecht aufeinander. Somit schneiden sich die beiden Geraden senkrecht. Die Rotation erfolgt um den Schnittpunkt und führt zur Ebene .

c)
x