Gegeben sind die Ebenen $E$, $F$ und $G$.
$E:4x_1-5x_2+1x_3=\text{-}8$

$F:\left(\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{r}4\\ 1\\ \text{-}1\end{array}\right)\right)\cdot \left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ \text{-}5\end{array}\right)=0$

$G:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r}\text{-}2\\ 1\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{r}3\\ \text{-}6\\ 1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{r}2\\ \text{-}1\\ 1\end{array}\right)$

a) Gib an, in welcher Darstellungsform die Ebenen angegeben wurden.
b) Bestimme für die Ebenengleichungen jeweils die beiden fehlenden Gleichungen. Nutze für die Berechnungen dein Heft.

Gib die Normalengleichung der beschriebenen Ebene $E$ an. Nutze für die Berechnungen dein Heft.
a) Die Ebene $E$ enthält den Punkt $P(1|4|0)$ und hat den Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{r}0\\ 1\\ \text{-}2\end{array}\right)$.
b) Die Ebene $E$ enthält die Punkte $A(3|\text{-}6|2)$, $B(\text{-}1|0|2)$ und $C(1|2|\text{-}4)$.
c) Die Ebene $E$ ist parallel zu $x_2{x}_3$-Ebene enthält den Punkt $A(2|\text{-}1|3)$.
d) Die Gerade $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r}1\\ 5\\ \text{-}2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{r}1\\ \text{-}4\\ 2\end{array}\right)$ schneidet die Ebene $E$ senkrecht im Punkt $P(3|\text{-}3|2)$.
e) Die Ebene $E$ enthält die Gerade $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r}2\\ 0\\ \text{-}3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{r}6\\ \text{-}1\\ 1\end{array}\right)$ und den Punkt $P(2|1|4)$.

Die Spiegelung des Punktes $A(4|\text{-}1|9)$ an der Ebene $E$ ergibt den Punkt $A^{\prime }(6|5|5)$. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene $E$.

Gegeben ist die Gerade $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{r}1\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ sowie die Punkte $P(1|\text{-}3|\text{-}2)$ und $Q(3|\text{-}4|\text{-}1)$.
a) Die Gerade $h$ enthält die Punkte $P$ und $Q$. Stelle eine zugehörige Geradengleichung auf.
b) Zeige, dass bei der Rotation der Geraden $g$ um die Gerade $h$ eine Ebene $E$ entsteht.
c) Bestimme eine Normalengleichung der Ebene $E$.