• Die Normalengleichung
  • MNWeG
  • 04.02.2022
  • Mathematik
  • Vektoren
  • 12
  • Arbeitsblatt
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Gegeben sind die Ebenen E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E, F\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F und G\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} G.
E ⁣:4x15x2+1x3=-8\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: 4x_1-5x_2+1x_3 = \text{-}8

F ⁣:(x( 41-1))( 12-5)=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F\!: \left(\overrightarrow{x}-\left( \begin{array}{r} \ 4\\1\\\text{-}1\end{array} \right) \right) \cdot \left( \begin{array}{r} \ 1\\2\\\text{-}5\end{array} \right) = 0

G ⁣:x=( -214)+r ( 3-61)+s ( 2-11)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} G\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ \text{-}2\\1\\4\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 3\\\text{-}6\\1\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ 2\\\text{-}1\\1\end{array} \right)

a) Gib an, in welcher Darstellungsform die Ebenen angegeben wurden.
b) Bestimme für die Ebenengleichungen jeweils die beiden fehlenden Gleichungen. Nutze für die Berechnungen dein Heft.
a) Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E liegt als Koordinatengleichung vor, Ebene F\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F ist eine Normalengleichung und Ebene G\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} G ist durch eine Parametergleichung gegeben.
b) Hinweis: Alle Ebenengleichungen sind Beispiele. Alternativ sind andere Gleichungen möglich, die die gleiche Ebene beschreiben.

E ⁣:(x( -200))( 4-51)=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \left(\overrightarrow{x}-\left( \begin{array}{r} \ \text{-}2\\0\\0\end{array} \right) \right) \cdot \left( \begin{array}{r} \ 4\\\text{-}5\\1\end{array} \right) = 0

E ⁣:x=( -200)+r ( 540)+s ( 015)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ \text{-}2\\0\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 5\\4\\0\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ 0\\1\\5\end{array} \right)

F ⁣:1x1+2x25x3=11\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F\!: 1x_1+2x_2-5x_3 = 11


F ⁣:x=( 41-1)+r ( 2-10)+s ( 501)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 4\\1\\\text{-}1\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 2\\\text{-}1\\0\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ 5\\0\\1\end{array} \right)

G ⁣:-5x11x2+9x3=45\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} G\!: \text{-}5x_1-1x_2+9x_3 = 45

G ⁣:(x( -214))( -5-19)=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} G\!: \left(\overrightarrow{x}-\left( \begin{array}{r} \ \text{-}2\\1\\4\end{array} \right) \right) \cdot \left( \begin{array}{r} \ \text{-}5\\\text{-}1\\9\end{array} \right) = 0

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Gib die Normalengleichung der beschriebenen Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E an. Nutze für die Berechnungen dein Heft.
a) Die Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E enthält den Punkt P(140)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P (1|4|0) und hat den Normalenvektor n=( 01-2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{n} = \left( \begin{array}{r} \ 0\\1\\\text{-}2\end{array} \right).
b) Die Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E enthält die Punkte A(3-62)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A (3|\text{-}6|2), B(-102)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} B (\text{-}1|0|2) und C(12-4)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} C (1|2|\text{-}4).
c) Die Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E ist parallel zu x2x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2x_3-Ebene enthält den Punkt A(2-13)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A (2|\text{-}1|3).
d) Die Gerade g ⁣:x=( 15-2)+r ( 1-42)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\5\\\text{-}2\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\\text{-}4\\2\end{array} \right) schneidet die Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E senkrecht im Punkt P(3-32)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P (3|\text{-}3|2).
e) Die Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E enthält die Gerade g ⁣:x=( 20-3)+r ( 6-11)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 2\\0\\\text{-}3\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 6\\\text{-}1\\1\end{array} \right) und den Punkt P(214)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P (2|1|4).
a) z. B. E ⁣:(x( 140))( 01-2)=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \left(\overrightarrow{x}-\left( \begin{array}{r} \ 1\\4\\0\end{array} \right) \right) \cdot \left( \begin{array}{r} \ 0\\1\\\text{-}2\end{array} \right) = 0


b) z. B. E ⁣:(x( 3-62))( 965)=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \left(\overrightarrow{x}-\left( \begin{array}{r} \ 3\\\text{-}6\\2\end{array} \right) \right) \cdot \left( \begin{array}{r} \ 9\\6\\5\end{array} \right) = 0


c) z. B. E ⁣:(x( 2-13))( 100)=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \left(\overrightarrow{x}-\left( \begin{array}{r} \ 2\\\text{-}1\\3\end{array} \right) \right) \cdot \left( \begin{array}{r} \ 1\\0\\0\end{array} \right) = 0


d) z. B.E ⁣:(x( 3-32))( 1-42)=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \left(\overrightarrow{x}-\left( \begin{array}{r} \ 3\\\text{-}3\\2\end{array} \right) \right) \cdot \left( \begin{array}{r} \ 1\\\text{-}4\\2\end{array} \right) = 0


e) z. B. E ⁣:(x( 20-3))( 421-3)=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \left(\overrightarrow{x}-\left( \begin{array}{r} \ 2\\0\\\text{-}3\end{array} \right) \right) \cdot \left( \begin{array}{r} \ 4\\21\\\text{-}3\end{array} \right) = 0
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Die Spiegelung des Punktes A(4-19)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A(4|\text{-}1|9) an der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E ergibt den Punkt A(655)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A'(6|5|5). Bestimme eine Normalengleichung der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E.
Der Normalenvektor lässt sich als Verbindungsvektor AA\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{AA'} bestimmen:

n=AA=( 26-4)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AA'}= \left( \begin{array}{r} \ 2\\6\\\text{-}4\end{array} \right)

Ein Punkt der in der Ebene liegt, ist der Mittelpunkt M\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} M von A\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A und A\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A'.

m=a+12AA\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{m} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}·\overrightarrow{AA'}


m=(4-19)+12(26-4)=(527)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{m} = \left( \begin{array}{r} 4 \\\text{-}1\\9\end{array} \right)+ \frac{1}{2}· \left( \begin{array}{r} 2\\6\\\text{-}4 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{r} 5\\2 \\7\end{array} \right)

Nun lässt sich eine Normalengleichung der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E aufstellen:

E ⁣:(x( 527))( 26-4)=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \left(\overrightarrow{x}-\left( \begin{array}{r} \ 5\\2\\7\end{array} \right) \right) \cdot \left( \begin{array}{r} \ 2\\6\\\text{-}4\end{array} \right) = 0
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Gegeben ist die Gerade g ⁣:x=( 210)+r ( 142)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 2\\1\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\4\\2\end{array} \right) sowie die Punkte P(1-3-2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P(1|\text{-}3|\text{-}2) und Q(3-4-1)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Q(3|\text{-}4|\text{-}1).
a) Die Gerade h\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h enthält die Punkte P\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P und Q\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Q. Stelle eine zugehörige Geradengleichung auf.
b) Zeige, dass bei der Rotation der Geraden g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g um die Gerade h\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h eine Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E entsteht.
c) Bestimme eine Normalengleichung der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E.
a) h ⁣:x=( 1-3-2)+s ( 2-11)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\\text{-}3\\\text{-}2\end{array} \right) + s\ · \left( \begin{array}{r} \ 2\\\text{-}1\\1\end{array} \right)

b) Es wird untersucht, wie die beiden Geraden zueinander liegen.

Die Richtungsvektoren sind nicht linear abhängig:

( 142)k( 2-11)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \ 1\\4\\2\end{array} \right) \neq k \cdot \left( \begin{array}{r} \ 2\\\text{-}1\\1\end{array} \right)

Im zweiten Schritt werden die Geradengleichungen gleichgesetzt:

( 210)+r ( 142)=( 1-3-2)+s ( 2-11)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \ 2\\1\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\4\\2\end{array} \right)=\left( \begin{array}{r} \ 1\\\text{-}3\\\text{-}2\end{array} \right) + s\ · \left( \begin{array}{r} \ 2\\\text{-}1\\1\end{array} \right)

Lösen des LGS führt zu r=-1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} r=\text{-}1 und s=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} s=0. Damit lässt sich der Schnittpunkt bestimmen. Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt S(1-3-2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S(1|\text{-}3|\text{-}2).

Das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren wird berechnet:

( 142)( 2-11)=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \ 1\\4\\2\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{r} \ 2\\\text{-}1\\1\end{array} \right)=0

Da das Skalarprodukt null ist, stehen die beiden Richtungsvektoren senkrecht aufeinander. Somit schneiden sich die beiden Geraden senkrecht. Die Rotation erfolgt um den Schnittpunkt und führt zur Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E.

c) E ⁣:(x( 1-3-2))( 2-11)=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \left(\overrightarrow{x}-\left( \begin{array}{r} \ 1\\\text{-}3\\\text{-}2\end{array} \right) \right) \cdot \left( \begin{array}{r} \ 2\\\text{-}1\\1\end{array} \right) = 0