• Ein LGS mit drei Gleichungen lösen
  • MNWeG
  • 21.04.2021
  • Mathematik
  • Funktionen, Gleichungen
  • Einzelarbeit
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  • Das folgende lineare Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen soll gelöst werden. Dabei werden durch geschickte Addition im ersten Schritt zwei Gleichungen mit zwei Variablen und im zweiten Schritt aus diesen beiden Gleichungen eine Gleichung mit einer Variablen erzeugt. Dieses strukturierte Vorgehen wird als Gaußverfahren bezeichnet.

    I.  4x1+  1x2  1x3=  3I ⁣I.  2x1  2x2  4x3= -4I ⁣I ⁣I.  1x1+  3x2+  3x3=  5I.   4x1+  1x2  1x3=  3    (-1)I ⁣I.   2x1  2x2  4x3= -4    2I ⁣I ⁣I.   1x1+  3x2+  3x3=  5    4Ia. -4x1  1x2+  1x3= -3I ⁣Ia.  4x1  4x2    8x3= -8    Ia+I ⁣IaI ⁣I ⁣Ia.  4x1+ 12x2+ 12x3= 20    Ia+I ⁣I ⁣IaIb. -4x1  1x2+  1x3=  -3I ⁣Ib.  -5x2    7x3= -11    11I ⁣I ⁣Ib. 11x2+ 13x3=  17    5Ic. -4x1   1x2+  1x3=     -3I ⁣Ic.  -55x2   77x3= -121    :11I ⁣I ⁣Ic.   55x2+ 65x3=    85    I ⁣Ic+I ⁣I ⁣Ic\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{aligned} I.\ &\ 4x_1&+&\ \ 1x_2&-&\ \ 1x_3&=&\ \ 3 \\ I\!I.\ &\ 2x_1&-&\ \ 2x_2&-&\ \ 4x_3&=&\ \text{-}4 \\ I\!I\!I.\ &\ 1x_1&+&\ \ 3x_2 &+&\ \ 3x_3&=&\ \ 5 \\ \\ \\ \\ I.\ \ &\ 4x_1&+&\ \ 1x_2&-&\ \ 1x_3&=&\ \ 3&&\ \ \ |\ · (\text{-}1)\\ I\!I.\ \ &\ 2x_1&-&\ \ 2x_2&-&\ \ 4x_3&=&\ \text{-}4&&\ \ \ |\ · 2 \\ I\!I\!I.\ \ &\ 1x_1&+&\ \ 3x_2&+&\ \ 3x_3&=&\ \ 5&&\ \ \ |\ · 4 \\ \\ \\ \\ I_a.\ &\text{-}4x_1&-&\ \ 1x_2&+&\ \ 1x_3&=&\ \text{-}3&\\ I\!I_a.\ &\ 4x_1&-&\ \ 4x_2\ \ &-&\ \ 8x_3&=&\ \text{-}8&&\ \ \ |\ I_a + I\!I_a\\ I\!I\!I_a.\ &\ 4x_1&+&\ 12x_2&+&\ 12x_3&=&\ 20&&\ \ \ |\ I_a + I\!I\!I_a\\ \\ \\ \\ I_b.\ &\text{-}4x_1&-&\ \ 1x_2&+&\ \ 1x_3&=&\ \ \text{-}3&\\ I\!I_b.\ &&&\ \text{-}5x_2\ \ &-&\ \ 7x_3&=&\ \text{-}11&&\ \ \ |\ · 11 \\ I\!I\!I_b.\ &&&11x_2&+&\ 13x_3&=&\ \ 17&&\ \ \ |\ · 5\\ \\ \\ \\ I_c.\ &\text{-}4x_1&-&\ \ \ 1x_2&+&\ \ 1x_3&=&\ \ \ \ \ \text{-}3&\\ I\!I_c.\ &&&\ \text{-}55x_2\ \ &-&\ 77x_3&=&\ \text{-}121&&\ \ \ |\ :11 \\ I\!I\!I_c.\ &&&\ \ 55x_2&+&\ 65x_3&=&\ \ \ \ 85&&\ \ \ |\ I\!I_c+I\!I\!I_c\\ \end{aligned}

    Um das Additionsverfahren anwenden zu können, werden die Gleichungen so multipliziert, dass der Koeffizient vor x1 in allen drei Gleichungen gleich ist. Gleichung I wird dann mit -1 multipliziert, sodass die x1-Werte beim Addieren rausfallen.

    Nun werden die Gleichungen addiert. Die erste Zeile bleibt unverändert stehen.

    Das LGS besteht nun aus einer Gleichung mit drei Variablen und zwei Gleichungen mit zwei Variablen. Diese beiden Gleichungen werden multipliziert, sodass es sich bei den Koeffizienten vor x2 um Zahl und Gegenzahl handelt.

    Wenn die Werte wie in diesem Beispiel durch die Multiplikation recht hoch werden, kann anschließend wieder dividiert werden. So kann später mit den kleineren Koeffizienten in der zweiten Zeile leichter gerechnet werden.

  • Das LGS besteht nun aus einer Gleichung mit drei Variablen, einer Gleichung mit zwei Variablen und einer Gleichung mit einer Variablen. Diese Darstellung wird als Stufenform bezeichnet.

    Id. -4x1   1x2+   1x3=   -3I ⁣Id.   -5x2     7x3= -11I ⁣I ⁣Id. -12x3= -36I ⁣I ⁣Id. -12x3= -36:(-12)     x3=    3I ⁣Id.-5x2  73= -11-5x2   21= -11+21-5x2 =  10:(-5)   x2=  -2Id. -4x1 1(-2)+ 13=   -3-4x1+    5=   -3 5-4x1=   -8:(-4)   x1=    2I.  4 2+  1 (-2)  1 3=    3 I ⁣I.  2 2  2 (-2)  4 3=   -4 I ⁣I ⁣I.  1 2+  3 (-2)+  3 3=    5 \gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{aligned} I_d.\ &\text{-}4x_1&-&\ \ \ 1x_2&+&\ \ \ 1x_3&=&\ \ \ \text{-}3&\\ I\!I_d.\ &&&\ \ \text{-}5x_2\ \ &-&\ \ \ 7x_3&=&\ \text{-}11\\ I\!I\!I_d.\ &&&&&\text{-}12x_3&=&\ \text{-}36\\ \\ \\ I\!I\!I_d.\ &&&&&\text{-}12x_3&=&\ \text{-}36&&|:(\text{-}12)\\ &&&&&\ \ \ \ \ x_3&=&\ \ \ \ 3 \\ \\ I\!I_d.&&&\text{-}5x_2\ &-&\ 7·3&=&\ \text{-}11\\ &&&\text{-}5x_2\ &-&\ \ 21&=&\ \text{-}11&&|+21\\ &&&\text{-}5x_2\ &&&=&\ \ 10&&|:(\text{-}5)\\ &&&\ \ \ x_2&&&=&\ \ \text{-}2 \\ \\ I_d.\ &\text{-}4x_1&-&\ 1·(\text{-}2)&+&\ 1·3&=&\ \ \ \text{-}3&\\ &\text{-}4x_1&&&+&\ \ \ \ 5&=&\ \ \ \text{-}3&&|-\ 5\\ &\text{-}4x_1&&&&&=&\ \ \ \text{-}8&&|:(\text{-}4)\\ &\ \ \ x_1&&&&&=&\ \ \ \ 2\\ \\ \\ \\ \\ \\ I.\ &\ 4\ ·2 &+&\ \ 1\ ·(\text{-}2)&-&\ \ 1\ ·3 &=&\ \ \ \ 3\ \checkmark \\ I\!I.\ &\ 2\ ·2 &-&\ \ 2\ ·(\text{-}2)&-&\ \ 4\ ·3&=&\ \ \ \text{-}4 \ \checkmark \\ I\!I\!I.\ &\ 1\ ·2&+&\ \ 3\ ·(\text{-}2) &+&\ \ 3\ ·3&=&\ \ \ \ 5\ \checkmark \end{aligned}

    Die letzte Gleichung enthält nur eine Variable. Sie wird nach x3 umgestellt.

    Der Wert von x3 wird in die zweite Gleichung eingesetzt, um x2 zu erhalten.

    Nun fehlt nur noch der Wert für x1. Er lässt sich bestimmen, indem x2 und x3 in die erste Gleichung eingesetzt werden.

    Wenn alle Variablen bekannt sind, wird die Lösungsmenge angegeben.

    L={2;-2;3}\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{aligned} L= &\{2; \text{-2}; 3\}\\ \end{aligned}

    Mit einer Probe lässt sich überprüfen, ob die Ergebnisse richtig sind. Wichtig ist, dass die Werte für die Variablen in alle drei Gleichungen eingesetzt werden.