Das folgende lineare Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen soll gelöst werden. Dabei werden durch geschickte Addition im ersten Schritt zwei Gleichungen mit zwei Variablen und im zweiten Schritt aus diesen beiden Gleichungen eine Gleichung mit einer Variablen erzeugt. Dieses strukturierte Vorgehen wird als Gaußverfahren bezeichnet.

Nun werden die Gleichungen addiert. Die erste Zeile bleibt unverändert stehen.

Das LGS besteht nun aus einer Gleichung mit drei Variablen und zwei Gleichungen mit zwei Variablen. Diese beiden Gleichungen werden multipliziert, sodass es sich bei den Koeffizienten vor x₂ um Zahl und Gegenzahl handelt.

Wenn die Werte wie in diesem Beispiel durch die Multiplikation recht hoch werden, kann anschließend wieder dividiert werden. So kann später mit den kleineren Koeffizienten in der zweiten Zeilen leichter gerechnet werden.

Das LGS besteht nun aus einer Gleichung mit drei Variablen, einer Gleichung mit zwei Variablen und einer Gleichung mit einer Variablen. Diese Darstellung wird als Stufenform bezeichnet.

$\begin{array}{rlrlrlrlrl}{I}_d.& \text{-}4x_1& -& 1x_2& +& 1x_3& =& \text{-}3& & \\ I{I}_d.& & & \text{-}5x_2& -& 7x_3& =& \text{-}11& & \\ II{I}_d.& & & & & \text{-}12x_3& =& \text{-}36& & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ II{I}_d.& & & & & \text{-}12x_3& =& \text{-}36& & |:(\text{-}12)\\ & & & & & x_3& =& 3& & \\ & & & & & & & & & \\ I{I}_d.& & & \text{-}5x_2& -& 7\cdot 3& =& \text{-}11& & \\ & & & \text{-}5x_2& -& 21& =& \text{-}11& & |+21\\ & & & \text{-}5x_2& & & =& 10& & |:(\text{-}5)\\ & & & x_2& & & =& \text{-}2& & \\ & & & & & & & & & \\ I_d.& \text{-}4x_1& -& 1\cdot (\text{-}2)& +& 1\cdot 3& =& \text{-}3& & \\ & \text{-}4x_1& & & +& 5& =& \text{-}3& & |-5\\ & \text{-}4x_1& & & & & =& \text{-}8& & |:(\text{-}4)\\ & x_1& & & & & =& 2& & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ I.& 4\cdot 2& +& 1\cdot (\text{-}2)& -& 1\cdot 3& =& 3✓& & \\ II.& 2\cdot 2& -& 2\cdot (\text{-}2)& -& 4\cdot 3& =& \text{-}4✓& & \\ III.& 1\cdot 2& +& 3\cdot (\text{-}2)& +& 3\cdot 3& =& 5✓& & \end{array}$

Die letzte Gleichung enthält nur eine Variable. Sie wird nach x₃ umgestellt.

Der Wert von x₃ wird in die zweite Gleichung eingesetzt, um x₂ zu erhalten.

Nun fehlt nur noch der Wert für x₁. Er lässt sich bestimmen, indem x₂ und x₃ in die erste Gleichung eingesetzt werden.

Wenn alle Variablen bekannt sind, wird die Lösungsmenge angegeben.

$\begin{array}{rl}L=& \{2;\text{-2};3\}\end{array}$

Mit einer Probe lässt sich überprüfen, ob die Ergebnisse richtig sind. Wichtig ist, dass die Werte für die Variablen in alle drei Gleichungen eingesetzt werden.