$\begin{array}{rlrlrlrlrl}I.& 6x_1& +& 1x_2& -& 1x_3& =& \text{-}7& & |\cdot (\text{-}1)\\ II.& 2x_1& -& 2x_2& +& 1x_3& =& \text{-}3& & |\cdot 3\\ III.& 3x_1& -& 4x_2& +& 2x_3& =& \text{-}5& & |\cdot 2\\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ I_a.& \text{-}6x_1& -& 1x_2& +& 1x_3& =& 7& & \\ I{I}_a.& 6x_1& -& 6x_2& +& 3x_3& =& \text{-}9& & |I_a+I{I}_a\\ II{I}_a.& 6x_1& -& 8x_2& +& 4x_3& =& \text{-}10& & |I_a+II{I}_a\\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ I_b.& \text{-}6x_1& -& 1x_2& +& 1x_3& =& 7& & \\ I{I}_b.& & & \text{-}7x_2& +& 4x_3& =& \text{-}2& & |\cdot 9\\ II{I}_b.& & & \text{-}9x_2& +& 5x_3& =& \text{-}3& & |\cdot (\text{-}7)\\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ I_c.& \text{-}6x_1& -& 1x_2& +& 1x_3& =& 7& & \\ I{I}_c.& & & \text{-}63x_2& +& 36x_3& =& \text{-}18& & |:9\\ II{I}_c.& & & 63x_2& -& 35x_3& =& 21& & |I{I}_c+II{I}_c\end{array}$

Die Gleichungen werden .

Im nächsten Schritt wird wieder . Das Ziel ist, dass die Koeffizienten vor x₂ in Gleichung II_b und III_b zueinander sind.

Die zweite Zeile wird durch 9 , damit die Werte für die weitere Berechnung möglichst bleiben.

$\begin{array}{rlrlrlrlrl}{I}_d.& \text{-}6x_1& -& 1x_2& +& 1x_3& =& 7& & \\ I{I}_d.& & & \text{-}7x_2& +& 4x_3& =& \text{-}2& & \\ II{I}_d.& & & & & x_3& =& 3& & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ I{I}_d.& & & \text{-}7x_2& +& 4\cdot 3& =& \text{-}2& & \\ & & & \text{-}7x_2& +& 12& =& \text{-}2& & |-12\\ & & & \text{-}7x_2& & & =& \text{-}14& & |:(\text{-}7)\\ & & & x_2& & & =& 2& & \\ & & & & & & & & & \\ I_d.& \text{-}6x_1& -& 1\cdot 2& +& 1\cdot 3& =& 7& & \\ & \text{-}6x_1& & & +& 1& =& 7& & |-1\\ & \text{-}6x_1& & & & & =& 6& & |:(\text{-}1)\\ & x_1& & & & & =& \text{-}1& & \end{array}$

Das LGS liegt nun in der vor.

Die dritte Gleichung liefert den Wert für die x₃. Dieser Wert wird in die Gleichung II_d eingesetzt, um x₂ zu berechnen.

Der Wert für x₁ lässt sich nun bestimmen, indem x₂ und x₃ in Gleichung I_d werden.

Wenn alle Variablen bekannt sind, wird die angegeben.

$\begin{array}{rl}L=& \{\text{-1};2;3\}\end{array}$

$\begin{array}{rlrlrlrlrl}I.& 2x_1& +& 1x_2& +& 3x_3& =& \text{-}1& & |\cdot (\text{-}2)\\ II.& \text{-}4x_1& -& 4x_2& -& 7x_3& =& \text{-}3& & |\cdot (\text{-}1)\\ III.& 1x_1& +& 2x_2& +& 2x_3& =& 4& & |\cdot 4\\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ I_a.& & & & & & =& & & |:(\text{-}2)\\ I{I}_a.& & & & & & =& & & |I_a+I{I}_a\\ II{I}_a.& & & & & & =& & & |I_a+II{I}_a\\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ I_b.& & & & & & =& & & \\ I{I}_b.& & & & & & =& & & |\cdot (\text{-}3)\\ II{I}_b.& & & & & & =& & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ I_c.& & & & & & =& & & \\ I{I}_c.& & & & & & =& & & |:(\text{-}3)\\ II{I}_c.& & & & & & =& & & |I{I}_c+II{I}_c\\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ I_d.& & & & & & =& & & \\ I{I}_d.& & & & & & =& & & \\ II{I}_d.& & & & & & =& & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ II{I}_d.& & & & & & =& & & |:(\text{-}1)\\ & & & & & x_3& =& & & \end{array}$

$\begin{array}{rlrlrlrlrl}I{I}_d.& & & & & & =& & & \\ & & & & & & =& & & |+3\\ & & & & & & =& & & |:2\\ & & & x_2& & & =& & & \\ & & & & & & & & & \\ I_d.& & & & & & =& & & \\ & & & & & & =& & & |+5\\ & & & & & & =& & & |:2\\ & x_1& & & & & =& & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ I.& 2x& +& 1y& +& 3z& =& \text{-}1& & |\cdot (\text{-}2)\end{array}$

$\begin{array}{rl}L=& \{;;\}\end{array}$

$\begin{array}{rlrlrlrl}I.& 3x_1& -& 2x_2& +& 1x_3& =& \text{-}1\\ II.& 2x_1& +& 2x_2& +& 1x_3& =& 2\\ III.& 1x_1& -& 1x_2& -& 2x_3& =& 4\end{array}$