• Ein LGS mit drei Gleichungen lösen
  • MNWeG
  • 07.02.2022
  • Mathematik
  • Gleichungen
  • Einzelarbeit
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1
a) Hier wurde ein LGS gelöst. Erläutere die Rechenschritte, indem du die fehlenden Textbausteine auswählst und in den Lücken im Text neben der Rechnung ergänzt.

multipliziert

Variable

Stufenform

Gegenzahlen

-1

Koeffizient

Lösungsmenge

klein

addiert

dividiert

eingesetzt

I.   6x1+  1x2  1x3=   -7    (-1)I ⁣I.   2x1  2x2+  1x3=   -3    3I ⁣I ⁣I.   3x1  4x2+  2x3=   -5    2Ia. -6x1  1x2+  1x3=    7I ⁣Ia.  6x1  6x2  +  3x3=   -9    Ia+I ⁣IaI ⁣I ⁣Ia.  6x1  8x2+  4x3= -10    Ia+I ⁣I ⁣IaIb. -6x1   1x2+  1x3=    7I ⁣Ib.   -7x2  +  4x3=   -2    9I ⁣I ⁣Ib.   -9x2+  5x3=   -3    (-7)Ic. -6x1    1x2+   1x3=    7I ⁣Ic.  -63x2  + 36x3= -18    :9I ⁣I ⁣Ic.   63x2 35x3=  21    I ⁣Ic+I ⁣I ⁣Ic\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.\ \ &\ 6x_1&+&\ \ 1x_2&-&\ \ 1x_3&=&\ \ \ \text{-}7&&\ \ \ |\ · (\text{-}1)\\ I\!I.\ \ &\ 2x_1&-&\ \ 2x_2&+&\ \ 1x_3&=&\ \ \ \text{-}3&&\ \ \ |\ · 3 \\ I\!I\!I.\ \ &\ 3x_1&-&\ \ 4x_2&+&\ \ 2x_3&=&\ \ \ \text{-}5&&\ \ \ |\ · 2 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ I_a.\ &\text{-}6x_1&-&\ \ 1x_2&+&\ \ 1x_3&=&\ \ \ \ 7\\ I\!I_a.\ &\ 6x_1&-&\ \ 6x_2\ \ &+&\ \ 3x_3&=&\ \ \ \text{-}9&&\ \ \ |\ I_a + I\!I_a\\ I\!I\!I_a.\ &\ 6x_1&-&\ \ 8x_2&+&\ \ 4x_3&=&\ \text{-}10&&\ \ \ |\ I_a + I\!I\!I_a\\ \\ \\ \\ I_b.\ &\text{-}6x_1&-&\ \ \ 1x_2&+&\ \ 1x_3&=&\ \ \ \ 7\\ I\!I_b.\ &&&\ \ \text{-}7x_2\ \ &+&\ \ 4x_3&=&\ \ \ \text{-}2&&\ \ \ |\ · 9 \\ I\!I\!I_b.\ &&&\ \ \text{-}9x_2&+&\ \ 5x_3&=&\ \ \ \text{-}3&&\ \ \ |\ · (\text{-}7) \\ \\ \\ \\ I_c.\ &\text{-}6x_1&-&\ \ \ \ 1x_2&+&\ \ \ 1x_3&=&\ \ \ \ 7\\ I\!I_c.\ &&&\ \text{-}63x_2\ \ &+&\ 36 x_3&=&\ \text{-}18&&\ \ \ |\ :9 \\ I\!I\!I_c.\ &&&\ \ 63x_2&-&\ 35x_3&=&\ \ 21&&\ \ \ |\ I\!I_c+I\!I\!I_c\\ \end{aligned}

Die Gleichungen werden so multipliziert, dass der Koeffizient vor x1 in allen drei Gleichungen gleich ist. Gleichung I wird dann mit -1 multipliziert, sodass die Koeffizienten der x1-Werte unterschiedliche Vorzeichen haben.

Die Gleichungen werden addiert.

Im nächsten Schritt wird wieder multipliziert. Das Ziel ist, dass die Koeffizienten vor x2 in Gleichung IIb und IIIb Gegenzahlen zueinander sind.

Die zweite Zeile wird durch 9 dividiert, damit die Werte für die weitere Berechnung möglichst klein bleiben.

Id. -6x1   1x2+   1x3=   7I ⁣Id.   -7x2  +   4x3=  -2I ⁣I ⁣Id.      x3=   3I ⁣Id.-7x2 + 43=   -2-7x2 +  12=   -212-7x2 = -14:(-7)   x2=    2Id. -6x1 12+ 13=    7-6x1+    1=    7 1-6x1=    6:(-1)   x1=   -1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I_d.\ &\text{-}6x_1&-&\ \ \ 1x_2&+&\ \ \ 1x_3&=&\ \ \ 7&\\ I\!I_d.\ &&&\ \ \text{-}7x_2\ \ &+&\ \ \ 4x_3&=&\ \ \text{-}2\\ I\!I\!I_d.\ &&&&&\ \ \ \ \ x_3&=&\ \ \ 3\\ \\ \\ I\!I_d.&&&\text{-}7x_2\ &+&\ 4·3&=&\ \ \ \text{-}2\\ &&&\text{-}7x_2\ &+&\ \ 12&=&\ \ \ \text{-}2&&|-12\\ &&&\text{-}7x_2\ &&&=&\ \text{-}14&&|:(\text{-}7)\\ &&&\ \ \ x_2&&&=&\ \ \ \ 2 \\ \\ I_d.\ &\text{-}6x_1&-&\ 1·2&+&\ 1·3&=&\ \ \ \ 7&\\ &\text{-}6x_1&&&+&\ \ \ \ 1&=&\ \ \ \ 7&&|-\ 1\\ &\text{-}6x_1&&&&&=&\ \ \ \ 6&&|:(\text{-}1)\\ &\ \ \ x_1&&&&&=&\ \ \ \text{-}1\\ \end{aligned}

Das LGS liegt nun in der Stufenform vor.

Die dritte Gleichung liefert den Wert für die Variable x3. Dieser Wert wird in die Gleichung IId eingesetzt, um x2 zu berechnen.

Der Wert für x1 lässt sich nun bestimmen, indem x2 und x3 in Gleichung Id eingesetzt werden.

Wenn alle Variablen bekannt sind, wird die Lösungsmenge angegeben.

L={-1;2;3}\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} L= &\{\text{-1}; 2; 3\}\\ \end{aligned}

b) Zeige mithilfe einer Probe, dass die ermittelte Lösungsmenge richtig ist.
I.  6 (-1)+  1 2  1 3=   -7 I ⁣I.  2 (-1)  2 2+  1 3=   -3 I ⁣I ⁣I.  3 (-1)  4 2+  2 3=   -5 \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.\ &\ 6\ ·(\text{-}1) &+&\ \ 1\ ·2&-&\ \ 1\ ·3 &=&\ \ \ \text{-}7\ \checkmark \\ I\!I.\ &\ 2\ ·(\text{-}1) &-&\ \ 2\ ·2&+&\ \ 1\ ·3&=&\ \ \ \text{-}3 \ \checkmark \\ I\!I\!I.\ &\ 3\ ·(\text{-}1)&-&\ \ 4\ ·2 &+&\ \ 2\ ·3&=&\ \ \ \text{-}5\ \checkmark \end{aligned}
2
a) Löse das LGS, indem du die angegebenen Rechenbefehle ausführst. Beachte die Hinweise am Rand.

I.   2x1+  1x2+  3x3=   -1    (-2)I ⁣I.  -4x1  4x2  7x3=   -3    (-1)I ⁣I ⁣I.   1x1+  2x2+  2x3=    4    4Ia.=    :(-2)    I ⁣Ia.=    Ia+I ⁣IaI ⁣I ⁣Ia.=    Ia+I ⁣I ⁣IaIb.=I ⁣Ib.=    (-3)I ⁣I ⁣Ib.=Ic. =I ⁣Ic.=    :(-3)I ⁣I ⁣Ic.=    I ⁣Ic+I ⁣I ⁣IcId. =I ⁣Id.=I ⁣I ⁣Id.=I ⁣I ⁣Id.=    :(-1)   x3=\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.\ \ &\ 2x_1&+&\ \ 1x_2&+&\ \ 3x_3&=&\ \ \ \text{-}1&&\ \ \ |\ · (\text{-}2)\\ I\!I.\ \ &\text{-}4x_1&-&\ \ 4x_2&-&\ \ 7x_3&=&\ \ \ \text{-}3&&\ \ \ |\ · (\text{-}1)\\ I\!I\!I.\ \ &\ 1x_1&+&\ \ 2x_2&+&\ \ 2x_3&=&\ \ \ \ 4&&\ \ \ |\ · 4 \\ \\ \\ I_a.&&&&&&=& &&\ \ \ |\ : (\text{-}2)\ \ \ \ \\ I\!I_a.&&&&&&=&&&\ \ \ |\ I_a + I\!I_a\\ I\!I\!I_a.&&&&&&=&&&\ \ \ |\ I_a + I\!I\!I_a\\ \\ \\ I_b.&&&&&&=\\ I\!I_b.&&&&&&=&&&\ \ \ |\ · (\text{-}3) \\ I\!I\!I_b.&&&&&&=\\ \\ \\ I_c.\ &&&&&&=\\ I\!I_c.&&&&&&=&&&\ \ \ |\ :(\text{-}3) \\ I\!I\!I_c.&&&&&&=&&&\ \ \ |\ I\!I_c+I\!I\!I_c\\ \\ \\ I_d.\ &&&&&&=\\ I\!I_d.&&&&&&=\\ I\!I\!I_d.&&&&&&=\\ \\ \\ I\!I\!I_d.&&&&&&=&&&\ \ \ |\ :(\text{-}1)\\ &&&&&\ \ \ x_3&=\\ \end{aligned}

Achte darauf, gleiche Variablen sauber untereinander zu schreiben.

Verwende hier nicht mehr alle Gleichungen, sondern nur noch die angegebene Gleichung.

I ⁣Id.==   +3=    :2   x2=Id.==   +5=    :2   x1=I.   2x+  1y+  3z=   -1    (-2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I\!I_d.&&&&&&=\\ &&&&&&=&&&\ \ \ |+3\\ &&&&&&=&&&\ \ \ |\ :2\\ &&&\ \ \ x_2&&&=& \\ \\ I_d.&&&&&&=\\ &&&&&&=&&&\ \ \ |+5\\ &&&&&&=&&&\ \ \ |\ :2\\ &\ \ \ x_1&&&&&=\\ \\ \\ I.\ \ &\ 2x&+&\ \ 1y&+&\ \ 3z&=&\ \ \ \text{-}1&&\ \ \ |\ · (\text{-}2)\\ \end{aligned}

Setz die Zahl, die du für die Variable x3 berechnet hast, ein und stell die Gleichung nach x2 um.

Setz die Zahlen, die du für die Variablen x3 und x2 berechnet hast, ein und stell die Gleichung nach x1 um.

L={2;4;-3}\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} L= &\{2; 4; \text{-3}\}\\ \end{aligned}

L={   ;   ;   }\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} L= &\{\ \ \ ;\ \ \ ;\ \ \ \}\\ \end{aligned}

b) Zeige mithilfe einer Probe, dass die ermittelte Lösungsmenge richtig ist.
I.  2 2+  1 4+  3 (-3)=   -1 I ⁣I. -4 2  4 4  7 (-3)=   -3 I ⁣I ⁣I.  1 2+  2 4+  2 (-3)=    4 \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.\ &\ 2\ ·2 &+&\ \ 1\ ·4&+&\ \ 3\ ·(\text{-3}) &=&\ \ \ \text{-}1\ \checkmark \\ I\!I.\ &\text{-4}\ ·2 &-&\ \ 4\ ·4&-&\ \ 7\ ·(\text{-3}) &=&\ \ \ \text{-}3\ \checkmark\\ I\!I\!I.\ &\ 1\ ·2 &+&\ \ 2\ ·4&+&\ \ 2\ ·(\text{-3}) &=&\ \ \ \ 4\ \checkmark \\ \end{aligned}
3
Löse das LGS eigenständig im Heft. Führe auch eine Probe durch.

I.   3x1  2x2+  1x3=   -1I ⁣I.   2x1+  2x2+  1x3=    2I ⁣I ⁣I.   1x1  1x2  2x3=    4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.\ \ &\ 3x_1&-&\ \ 2x_2&+&\ \ 1x_3&=&\ \ \ \text{-}1\\ I\!I.\ \ &\ 2x_1&+&\ \ 2x_2&+&\ \ 1x_3&=&\ \ \ \ 2\\ I\!I\!I.\ \ &\ 1x_1&-&\ \ 1x_2&-&\ \ 2x_3&=&\ \ \ \ 4 \end{aligned}

L={1;1;-2}\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} L= &\{1; 1; \text{-2}\}\\ \end{aligned}