• Eine Ebenengleichung aufstellen
  • MNWeG
  • 04.02.2022
  • Mathematik
  • Vektoren
  • 12
  • Einzelarbeit
  • Arbeitsblatt
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Reflektionsfragen

Bevor du mit den Aufgaben beginnst, solltest du kurz über die folgenden Fragen nachdenken. Wenn du zu einer Frage keine Idee hast, lies noch einmal in der INFO nach.


\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \rArr Wie viele Punkte werden mindestens benötigt, um eine Ebenengleichung aufzustellen?
\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \rArr Welche Vektoren kommen in einer Ebenengleichung vor?
\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \rArr Welche Rolle spielen die Parameter in einer Ebenengleichung?
\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \rArr Wie groß ist eine Ebene?

1
Die Punkte P\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P, Q\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Q und R\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} R liegen nicht auf einer Geraden und legen somit eine Ebene eindeutig fest. Gib an, welche Vektoren bei dieser Ebene die Spannvektoren sind und welcher Vektor der Stützvektor ist.
x₂x₃originORQPx₁
Der Ortsvektor p\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{p} ist der Stützvektor der Ebene. Die Richtungsvektoren PQ\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{PQ} sowie PR\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{PR} sind die Spannvektoren der Ebene.
2
Tom und Leon haben jeweils eine Ebenengleichung mit den Punkten A(103)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A (1|0|3), B(002)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} B(0|0|2) und C(-421)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} C(\text{-}4|2|1) aufgestellt. Dabei sind sie unterschiedlich vorgegangen. Obwohl sie zu unterschiedlichen Ergebnissen kommen, beschreiben beide die gleiche Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E.
Vergleiche ihre Rechenwege und begründe, warum beide Rechenwege richtig sind.
Rechenweg von Tom

E ⁣:x=a+r AB+s AC\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + r\ · \overrightarrow{AB}+ s\ · \overrightarrow{AC}


AB=( 002)( 103)=( -10-1)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{AB}=\left( \begin{array}{r} \ 0\\0\\2\end{array} \right)-\left( \begin{array}{r} \ 1\\0\\3\end{array} \right)=\left( \begin{array}{r} \ \text{-}1\\0\\\text{-}1\end{array} \right)


AC=( -421)( 103)=( -52-2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{AC}=\left( \begin{array}{r} \ \text{-}4\\2\\1\end{array} \right)-\left( \begin{array}{r} \ 1\\0\\3\end{array} \right)=\left( \begin{array}{r} \ \text{-}5\\2\\\text{-}2\end{array} \right)

E ⁣:x=( 103)+r ( -10-1)+s ( -52-2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\0\\3\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}1\\0\\\text{-}1\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}5\\2\\\text{-}2\end{array} \right)

Rechenweg von Leon

E ⁣:x=b+r BA+s AC\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{b} + r\ · \overrightarrow{BA}+ s\ · \overrightarrow{AC}


BA=( 103)( 002)=( 101)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{BA}=\left( \begin{array}{r} \ 1\\0\\3\end{array} \right)-\left( \begin{array}{r} \ 0\\0\\2\end{array} \right)=\left( \begin{array}{r} \ 1\\0\\1\end{array} \right)


AC=( -421)( 103)=( -52-2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{AC}=\left( \begin{array}{r} \ \text{-}4\\2\\1\end{array} \right)-\left( \begin{array}{r} \ 1\\0\\3\end{array} \right)=\left( \begin{array}{r} \ \text{-}5\\2\\\text{-}2\end{array} \right)

E ⁣:x=( 002)+r ( 101)+s ( -52-2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 0\\0\\2\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\0\\1\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}5\\2\\\text{-}2\end{array} \right)

Tom und Leon nutzen unterschiedliche Stützvektoren. Da jedoch beide zu Punkten in der Ebene führen, ist ihr Vorgehen zulässig. Das gleiche gilt für die Spannvektoren, auch die sind unterschiedlich, liegen aber jeweils in der Ebene.
3
Die Punkte A\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A, B\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} B und C\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} C legen die Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E eindeutig fest. Gib eine zugehörige Ebenengleichung an.
a) A(207)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A (2|0|7), B(1-13)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} B (1|\text{-}1|3), C(0-21)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} C (0|\text{-}2|1)
b) A(-315)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A (\text{-}3|1|5), B(2-24)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} B (2|\text{-}2|4), C(165)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} C (1|6|5)
a) z. B. E ⁣:x=a+r AB+s AC\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + r\ · \overrightarrow{AB}+ s\ · \overrightarrow{AC}
E ⁣:x=( 207)+r ( -1-1-4)+s ( -2-2-6)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 2\\0\\7\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}1\\\text{-}1\\\text{-}4\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}2\\\text{-}2\\\text{-}6\end{array} \right)


b) z. B. E ⁣:x=a+r AB+s AC\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + r\ · \overrightarrow{AB}+ s\ · \overrightarrow{AC}
E ⁣:x=( -315)+r ( 5-3-1)+s ( 450)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ \text{-}3\\1\\5\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 5\\\text{-}3\\\text{-}1\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ 4\\5\\0\end{array} \right)

4
Ermittle, welche Punkte der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E mithilfe der Parameter beschrieben werden.
E ⁣:x=( 121)+r ( 1-2-1)+s ( 3-20)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\2\\1\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\\text{-}2\\\text{-}1\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ 3\\\text{-}2\\0\end{array} \right)

a) r=2,s=1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} r = 2, s = 1

b) r=-2,s=3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} r = \text{-}2, s = 3
Beispiel

r=1,s=2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} r = 1, s = 2
x=( 121)+1 ( 1-2-1)+2 ( 3-20)=( 8-40)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\2\\1\end{array} \right) + 1\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\\text{-}2\\\text{-}1\end{array} \right)+2\ · \left( \begin{array}{r} \ 3\\\text{-}2\\0\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} \ 8\\\text{-}4\\0\end{array} \right)
X(8-40)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} X (8|\text{-}4|0)

a) X(6-4-1)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} X (6|\text{-}4|\text{-}1)
b) X(803)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} X (8|0|3)
5
Die Gerade g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g und der Punkt P(23-2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P (2|3|\text{-}2) liegen in der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E. Bestimme die Ebenengleichung.
g ⁣:x=( 324)+r ( 1-2-4)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 3\\2\\4\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\\text{-}2\\\text{-}4\end{array} \right)
PgE

E:x=( 324)+r ( 1-2-4)+s ( -11-6)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 3\\2\\4\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\\text{-}2\\\text{-}4\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}1\\1\\\text{-}6\end{array} \right)

Der zweite Spannvektor ist die Differenz aus dem Ortsvektor p\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{p} und dem Stützvektor der Geraden.
6
Die parallelen Geraden g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g und h\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h liegen in der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E. Bestimme die Ebenengleichung.
g ⁣:x=( 120)+r ( 13-1)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\2\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\3\\\text{-}1\end{array} \right)

h ⁣:x=( 144)+s ( 26-2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\4\\4\end{array} \right) + s\ · \left( \begin{array}{r} \ 2\\6\\\text{-}2\end{array} \right)
hgE
E ⁣:x=( 120)+r ( 13-1)+s ( 024)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\2\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\3\\\text{-}1\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ 0\\2\\4\end{array} \right)

Der zweite Spannvektor ist die Differenz aus den Stützvektoren der Geraden.
7
Erläutere, warum die Spannvektoren einer Ebene nicht linear abhängig sein dürfen.
Wenn die Spannvektoren einer Ebene linear abhängig sind, spannen sie keine Ebene auf, da sie beide in die gleiche Richtung zeigen. Die Gleichung würde somit keine Ebene, sondern eine Gerade beschreiben.