Liegt ein Punkt in der Ebene $E$ ?

Die Ebene $E$ enthält die Punkte $A$, $B$ und $C$. Ihre Ebenengleichung lautet:



$E:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+r\cdot \overrightarrow{AB}+s\cdot \overrightarrow{AC}$, mit $rϵ\mathbb{R}$, $sϵ\mathbb{R}$



Beliebige Punkte der Ebene können berechnet werden, indem für die Parameter $r$ und $s$ reelle Zahlen eingesetzt werden. Umgekehrt muss daher gelten: Wenn ein Punkt in der Ebene liegt, gibt es zwei reelle Zahlen $r$ und $s$, für die die Ebenengleichung zu diesem Punkt führt. Das wird mit einer Punktprobe untersucht.

Untersuchung von Punkt $P$

1) Um zu untersuchen, ob der Punkt $P$ in der Ebene liegt, wird der Ortsvektor $\overrightarrow{p}$ für $\overrightarrow{x}$ eingesetzt:

















2) Aus der Vektorgleichung ergibt sich ein LGS:

3) Das LGS enthält drei Gleichungen und zwei Unbekannte. Nutze die ersten beiden Gleichungen, um $r$ und $s$ zu bestimmen:



































4) Führe mit der dritten Gleichung die Probe durch:

















5) Das LGS hat Lösung. Die Punktprobe ist . Der Punkt $P$ in der Ebene $E$.

Untersuchung von Punkt $Q$

Führe die Schritte 1) bis 5) zur Untersuchung von Punkt $Q$ ebenfalls durch. Nutze für die Rechnungen dein Heft.















Lösung – Untersuchung von Punkt $P$



Schritt 1)



$\left(\begin{array}{r}\text{-}4\\ 5\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}2\\ 4\\ \text{-}1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{r}\text{-}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{r}\text{-}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)$





Schritt 2)



$\begin{array}{rlrlrlrlrl}I.& & \text{-}4& =& 2& -& 2r& -& 2s& \\ II.& & 5& =& 4& +& 1r& +& 0s& \\ III.& & 4& =& \text{-}1& +& 3r& +& 1s& \end{array}$





Schritt 3)



$\begin{array}{rlrlrlrlrlr}I.& & \text{-}4& =& 2& -& 2r& -& 2s& & |-2\\ II.& & 5& =& 4& +& 1r& +& 0s& & |-4\\ & & & & & & & & & & \\ I_a.& & \text{-}6& =& & & \text{-}2r& -& 2s& & \\ I{I}_a.& & 1& =& & & 1r& & & & \\ & & & & & & & & & & \\ I_a.& & \text{-}6& =& & & \text{-}2\cdot 1& -& 2s& & |+2\\ & & \text{-}4& =& & & & & \text{-}2s& & |:(\text{-}2)\\ & & 2& =& & & & & s& & \end{array}$

$r=1;s=2$





Schritt 4)



$\begin{array}{rlrlrlr}III.& & 4& =\text{-}1& +& 3\cdot 1& +1\cdot 2\\ & & 4& =4& ✓& & \end{array}$





Schritt 5)



Das LGS hat genau eine Lösung. Die Punktprobe ist positiv. Der Punkt $P$ liegt in der Ebene $E$.

Lösung – Untersuchung von Punkt $Q$



Schritt 1)



$\left(\begin{array}{r}2\\ 3\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}2\\ 4\\ \text{-}1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{r}\text{-}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{r}\text{-}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)$





Schritt 2)



$\begin{array}{rlrlrlrlrl}I.& & 2& =& 2& -& 2r& -& 2s& \\ II.& & 3& =& 4& +& 1r& +& 0s& \\ III.& & 3& =& \text{-}1& +& 3r& +& 1s& \end{array}$





Schritt 3)



$\begin{array}{rlrlrlrlrlr}I.& & 2& =& 2& -& 2r& -& 2s& & |-2\\ II.& & 3& =& 4& +& 1r& +& 0s& & |-4\\ & & & & & & & & & & \\ I_a.& & 0& =& & & \text{-}2r& -& 2s& & \\ I{I}_a.& & \text{-}1& =& & & 1r& & & & \\ & & & & & & & & & & \\ I_a.& & 0& =& & & \text{-}2\cdot (\text{-}1)& -& 2s& & |-2\\ & & \text{-}2& =& & & & & \text{-}2s& & |:(\text{-}2)\\ & & 1& =& & & & & s& & \end{array}$

$r=\text{-}1;s=1$





Schritt 4)



$\begin{array}{rlrlrlr}III.& & 3& =\text{-}1& +& 3\cdot (\text{-}1)& +1\cdot 1\\ & & 3& \ne \text{-}3& & & \end{array}$





Schritt 5)



Das LGS hat keine Lösung. Die Punktprobe ist negativ. Der Punkt $Q$ liegt nicht in der Ebene $E$.