• Eine Schnittgerade bestimmen
  • MNWeG
  • 04.02.2022
  • Mathematik
  • Vektoren
  • 12
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Wenn zwei Ebenen sich schneiden, haben sie unendlich viele gemeinsame Punkte, die alle auf einer Schnittgeraden liegen.

Um die Schnittgerade zu bestimmen, sollten beide Ebenen in Koordinatenform gegeben sein. Wenn die Ebenen diese Voraussetzung nicht erfüllen, müssen sie vorher umgewandelt werden.

Beispielaufgabe

Die Ebenen E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E und F\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F schneiden sich. Bestimme die Schnittgerade.


E ⁣:-4x12x2+3x3=-8\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \text{-}4x_1-2x_2+3x_3 = \text{-}8

F ⁣:2x1+2x21x3= 5\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F\!: 2x_1+2x_2-1x_3 = \ 5

Rechenweg

Eine der Koordinaten wird frei gewählt:


x3=t\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_3 = t


Die Koordinate wird eingesetzt und ein LGS aufgestellt:


I. -4x1  2x2+  3t= -8I ⁣I.  2x1+  2x2  1t=  5\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.\ &\text{-}4x_1&-&\ \ 2x_2&+&\ \ 3t&=&\ \text{-}8 \\ I\!I.\ &\ 2x_1&+&\ \ 2x_2&-&\ \ 1t&=&\ \ 5 \\ \end{aligned}


Lösen des LGS führt zu
x1=1,5+t\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1 =1{,}5+t und x2=10,5t\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2=1-0{,}5t


Die Werte für x1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1, x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2 und x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_3 werden in die Ebenengleichung eingesetzt:


x=( x1x2x3)=( 1,5+     t1   0,5tt)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ x_1\\x_2\\x_3\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} \ 1{,}5+\ \ \ \ \ t\\1\ \ \ -0{,}5t\\t\end{array} \right)


Eine Aufteilung in Stützvektor und Richtungsvektor ergibt die Geradengleichung:


g ⁣:x=(1,510)+t ( 1-0,51)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} 1{,}5\\1\\0\end{array} \right)+t\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\\text{-}0{,}5\\1\end{array} \right)

Anstelle von x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_3 können auch x1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1 oder x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2 gewählt werden.

Hinter diesem Schritt verbirgt sich eine umfangreichere Rechnung. Wiederhole gegebenenfalls das Lösen von LGS, wenn du es nicht nachvollziehen kannst.