• Einstiegstest
  • MNWeG
  • 23.02.2022
  • Mathematik
  • Vektoren
  • 12
  • Einzelarbeit
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1
a) Lies die Koordinaten der Punkte A\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A und B\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} B aus der Grafik ab.
b) Stelle den Vektor AB\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{AB} auf.
c) Zeichne AB\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{AB} in das Koordinatensystem ein.
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Gegeben ist der Punkt P(5-24)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P (5|\text{-}2|4) und der Vektor PQ=( -402)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{PQ} = \left( \begin{array}{r} \ \text{-}4\\0 \\2\end{array} \right).
a) Bestimme die Koordinaten des Punktes Q\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Q.
b) Bestimme den Betrag des Vektors PQ\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{PQ} .
c) Erläutere, was der Betrag des Vektors angibt.
d) Gib den Gegenvektor zum Vektor PQ\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{PQ} an.
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Bestimme den Vektor x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{x} .

a) x=( 314)+( -210)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{x} =\left( \begin{array}{r} \ 3\\1 \\4\end{array} \right) + \left( \begin{array}{r} \ \text{-}2\\1 \\0\end{array} \right)

b) x+( -401,5)=( -0,52-1)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{x} +\left( \begin{array}{r} \ \text{-}4\\0 \\1{,}5\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} \ \text{-}0{,}5\\2 \\\text{-}1\end{array} \right)
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Die Gerade g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g geht durch die Punkte A(213)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A (2|1|3) und B(43-2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} B (4|3|\text{-}2).
a) Ermittle rechnerisch den Mittelpunkt der Strecke AB\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overline{AB} .
b) Wähle die Geradengleichung aus, die die Gerade g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g beschreibt.

g1 ⁣:x=( 213)+r( 43-2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g_1\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 2\\1 \\3\end{array} \right) + r · \left( \begin{array}{r} \ 4\\3 \\\text{-}2\end{array} \right)\\
g2 ⁣:x=( 43-2)+r( 213)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g_2\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 4\\3 \\\text{-}2\end{array} \right) + r · \left( \begin{array}{r} \ 2\\1 \\3\end{array} \right)\\
g3 ⁣:x=( 213)+r( 22-5)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g_3\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 2\\1 \\3\end{array} \right) + r · \left( \begin{array}{r} \ 2\\2 \\\text{-}5\end{array} \right)

c) Ermittle, ob der Punkt P(-4-518)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P (\text{-}4|\text{-}5|18) auf der Geraden g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g liegt und gib gegebenenfalls den Wert für r\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} r an.
d) Gib eine Gleichung der Geraden h\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h an, die parallel zu g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g ist und den Punkt C(214)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} C(2|1|4) enthält.
e) Ermittle, wie die Gerade k\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} k zu g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g liegt.

k ⁣:x=( 43-1)+s( 311)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} k\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 4\\3 \\\text{-}1\end{array} \right) + s · \left( \begin{array}{r} \ 3\\1 \\1\end{array} \right)
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Auswertung

Wenn du bei diesem Test weniger als 12 Punkte erreicht hast, ist die Wiederholung von Grundlagen empfehlenswert. Beginne das Materialpaket mit dem Wiederholungsmodul (Material 3 bis 6).

Wenn du mindestens 12 Punkte erreicht hast, kannst du das Wiederholungsmodul überspringen und mit Material 7 beginnen.

Lösungen und Punkteverteilung

Aufgabe 1
a) A(23)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A (2|3); B(71)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} B (7|1)(1 P)
b) AB=( 5-2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{AB} = \left( \begin{array}{r} \ 5 \\\text{-}2\end{array} \right) (1 P)
c) Vektorpfeil in der Grafik (1 P)

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Aufgabe 2
a) Q(1-26)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Q (1|\text{-}2|6) (1 P)
b) PQ\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} |\overrightarrow{PQ}| = √20 ≈ 4,47 (1 P)
c) Der Betrag des Vektors gibt den Abstand der Punkte P\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P und Q\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Q an. (1 P)
d) -PQ=QP=( 40-2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{QP} =\left( \begin{array}{r} \ 4 \\0 \\\text{-}2\end{array} \right) (1 P)

Aufgabe 3
a) x=( 124)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{x} =\left( \begin{array}{r} \ 1 \\2 \\4\end{array} \right) (1 P)


b) x=( 3,52-2,5)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{x} =\left( \begin{array}{r} \ 3{,}5 \\2 \\\text{-}2{,}5\end{array} \right) (1 P)

Aufgabe 4
a) M(320,5)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} M (3|2|0{,}5) (1 P)
b) g3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g_3 beschreibt die Gerade. (1 P)
c) Der Punkt liegt auf der Geraden (r\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} r = -3). (1 P)


d) z. B. h ⁣:x=( 214)+r( 225)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 2\\1 \\4\end{array} \right) + r · \left( \begin{array}{r} \ 2\\2 \\-5\end{array} \right) (1 P)


e) Prüfung der Richtungsvektoren ergibt, dass sie linear unabhängig sind:


k ( 225)( 311)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} k\ · \left( \begin{array}{r} \ 2\\2 \\-5\end{array} \right) ≠ \left( \begin{array}{r} \ 3\\1 \\1\end{array} \right) (1 P)


Um zu prüfen, ob es einen Schnittpunkt gibt, werden die Geraden gleichgesetzt:


( 213)+r( 22-5)( 43-1)+s( 311)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \ 2\\1 \\3\end{array} \right) + r · \left( \begin{array}{r} \ 2\\2 \\\text{-}5\end{array} \right)≠ \left( \begin{array}{r} \ 4\\3 \\\text{-}1\end{array} \right) + s · \left( \begin{array}{r} \ 3\\1 \\1\end{array} \right)


Daraus ergibt sich das lineare Gleichungssystem:


I. 2+  2r=    4+ 3sI ⁣I. 1+  2r=    3+ 1sI ⁣I ⁣I. 3  5r=   -1+ 1s\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.&\ 2&+&\ \ 2r&=&\ \ \ \ 4&+&\ 3s\\ I\!I.&\ 1&+&\ \ 2r&=&\ \ \ \ 3&+&\ 1s\\ I\!I\!I.&\ 3&-&\ \ 5r&=&\ \ \ \text{-}1&+&\ 1s \end{aligned}


Lösen des linearen Gleichungssystems führt zu:


L={ }\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} L=\{\ \} (1 P)


Fazit: Die Geraden sind windschief. (1 P)