a) Bestimme die Extrempunkte der Funktion f(x).
b) Gib ohne weitere Rechnung die Anzahl der Nullstellen von f(x) an und begründe deine Vorhersage.
Um die Extrempunkte einer Funktion zu bestimmen, muss die Funktion abgeleitet werden.
Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist, dass die erste Ableitung null ist.
Die hinreichende Bedingung für einen Extrempunkt ist, dass die zweite Ableitung an der Stelle nicht null ist. Wenn sie null ist, könnte ein Sattelpunkt vorliegen.
Die y-Werte eines Punktes lassen sich bestimmen, indem die x-Werte in die Funktion eingesetzt werden.
Eine Nullstelle ist ein x-Wert, dessen zugehöriger Funktionswert null ist. An einer Nullstelle wird die x-Achse geschnitten oder berührt.
Die maximale Anzahl an Nullstellen entspricht dem Grad einer Funktion.
Mithilfe des Vorzeichens vor dem x4 lässt sich vorhersagen, ob die Funktion nach unten oder oben geöffnet ist.
Wenn die y-Werte der Extrempunkte im positiven Bereich liegen, muss die x-Achse geschnitten werden, wenn die Funktion nach unten geöffnet ist.
https://editor.mnweg.org/mnw/dokument/extrempunkte-berechnen-3
Lösung
a) Für die Bestimmung der Extremstellen werden die erste und die zweite Ableitung der Funktion gebildet.
f(x)=-x4+2x3−1
f′(x)=-4x3+6x2
f′′(x)=-12x2+12x
Die notwendige Bedingung für einen Extremwert ist, dass die erste Ableitung null ist:
f′(x)=0
Daraus ergibt sich die folgende Gleichung:
-4x3+6x2=0
Die Gleichung wird gelöst. Dazu wird zuerst x2 ausgeklammert:
x2(-4x+6)=0
Der Nullproduktsatz führt zu zwei Gleichungen, die nach x aufgelöst werden:
x2=0 und -4x+6=0
x1=0 und x2=23
Um zu prüfen, welche Art von Extrempunkt vorliegt, wird die hinreichende Bedingung für einen Extrempunkt untersucht. Die berechneten x-Werte werden dafür in die zweite Ableitung eingesetzt:
f′′(x1)=f′′(0)=-12⋅02+12⋅0=0
Da die zweite Ableitung an der Stelle x1 null ist, könnte es sich um einen Sattelpunkt handeln. Um das zu untersuchen, wird die dritte Ableitung bestimmt:
f′′′(x)=-24x+12
x1 wird in die dritte Ableitung eingesetzt:
f′′′(x1)=f′′′(0)=-24⋅0+12=-12=0
Da die dritte Ableitung ungleich null ist, handelt es sich um einen Sattelpunkt.
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Nun wird noch die hinreichende Bedingung für x2 geprüft:
f′′(x2)=f′′(23)=-12⋅(23)2+12⋅23=-9<0 ⇒ Hochpunkt
Für x2 ist die hinreichende Bedingung erfüllt. Da die zweite Ableitung an der Stelle x2 kleiner als null ist, handelt es sich um einen Hochpunkt. Im letzten Schritt werden nun noch die y-Werte für den Sattelpunkt bestimmt. Dazu werden x1 und x2 in die Ursprungsfunktion eingesetzt:
f(x1)=f(0)=-04+2⋅03−1=-1
f(x2)=f(23)=-234+2⋅233−1=1611
Nun liegen alle Werte vor, sodass die Koordinaten des Sattelpunktes und des Hochpunktes angegeben werden können:
S(0∣-1),H(23∣1611)
b) Eine Funktion vierten Grades hat maximal vier Nullstellen. Der Sattelpunkt hat die Koordinaten S(0∣-1), er liegt also unterhalb der x-Achse. Da es für x-Werte, die kleiner sind als null, keine weiteren Extrempunkte gibt und die Funktion nach unten geöffnet ist, gibt es keine Nullstelle im negativen Bereich. Der Hochpunkt liegt bei H(23∣1611) und liegt somit oberhalb der x-Achse. Um den Hochpunkt zu erreichen, muss die Funktion die x-Achse einmal davor und einmal dahinter schneiden. Da es keine weiteren Extrempunkte gibt, bleibt es bei den beiden Nullstellen.
Mit einer Zeichnung der Funktion lässt sich die Vorhersage bestätigen:
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