Lösung

a) Für die Bestimmung der Extremstellen werden die erste und die zweite Ableitung der Funktion gebildet.



$f(x)=\text{-}{x}^4+2x^3-1$

$f^{\prime }(x)=\text{-}4x^3+6x^2$

$f^{\prime \prime }(x)=\text{-}12x^2+12x$



Die notwendige Bedingung für einen Extremwert ist, dass die erste Ableitung null ist:



$f^{\prime }(x)=0$



Daraus ergibt sich die folgende Gleichung:



$\text{-}4x^3+6x^2=0$



Die Gleichung wird gelöst. Dazu wird zuerst $x^2$ ausgeklammert:



$x^2(\text{-}4x+6)=0$



Der Nullproduktsatz führt zu zwei Gleichungen, die nach $x$ aufgelöst werden:



$x^2=0$ und $\text{-4}x+6=0$

$x_1=0$ und $x_2=\frac{3}{2}$



Um zu prüfen, welche Art von Extrempunkt vorliegt, wird die hinreichende Bedingung für einen Extrempunkt untersucht. Die berechneten $x$-Werte werden dafür in die zweite Ableitung eingesetzt:



$f^{\prime \prime }(x_1)=f^{\prime \prime }(0)=\text{-}12\cdot 0^2+12\cdot 0=0$



Da die zweite Ableitung an der Stelle $x_1$ null ist, könnte es sich um einen Sattelpunkt handeln. Um das zu untersuchen, wird die dritte Ableitung bestimmt:



$f^{\prime \prime \prime }(x)=\text{-}24x+12$



$x_1$ wird in die dritte Ableitung eingesetzt:



$f^{\prime \prime \prime }(x_1)=f^{\prime \prime \prime }(0)=\text{-}24\cdot 0+12=\text{-}12\ne 0$



Da die dritte Ableitung ungleich null ist, handelt es sich um einen Sattelpunkt.

Nun wird noch die hinreichende Bedingung für $x_2$ geprüft:



$f^{\prime \prime }(x_2)=f^{\prime \prime }(\frac{3}{2})=\text{-}12\cdot (\frac{3}{2}{)}^2+12\cdot \frac{3}{2}=\text{-}9<0$ $\Rightarrow$ Hochpunkt



Für $x_2$ ist die hinreichende Bedingung erfüllt. Da die zweite Ableitung an der Stelle $x_2$ kleiner als null ist, handelt es sich um einen Hochpunkt. Im letzten Schritt werden nun noch die $y$-Werte für den Sattelpunkt bestimmt. Dazu werden $x_1$ und $x_2$ in die Ursprungsfunktion eingesetzt:



$f(x_1)=f(0)=\text{-}{0}^4+2\cdot 0^3-1=\text{-}1$



$f(x_2)=f(\frac{3}{2})=\text{-}{\frac{3}{2}}^4+2\cdot {\frac{3}{2}}^3-1=\frac{11}{16}$



Nun liegen alle Werte vor, sodass die Koordinaten des Sattelpunktes und des Hochpunktes angegeben werden können:



$S(0|\text{-}1),H(\frac{3}{2}|\frac{11}{16})$





b) Eine Funktion vierten Grades hat maximal vier Nullstellen. Der Sattelpunkt hat die Koordinaten $S(0|\text{-}1)$, er liegt also unterhalb der x-Achse. Da es für $x$-Werte, die kleiner sind als null, keine weiteren Extrempunkte gibt und die Funktion nach unten geöffnet ist, gibt es keine Nullstelle im negativen Bereich. Der Hochpunkt liegt bei $H(\frac{3}{2}|\frac{11}{16})$ und liegt somit oberhalb der $x$-Achse. Um den Hochpunkt zu erreichen, muss die Funktion die $x$-Achse einmal davor und einmal dahinter schneiden. Da es keine weiteren Extrempunkte gibt, bleibt es bei den beiden Nullstellen.



Mit einer Zeichnung der Funktion lässt sich die Vorhersage bestätigen: