• Extrempunkte berechnen
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  • 14.01.2022
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Gegeben ist die Funktion f(x)=-x4+2x31\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x) = \text{-}x^4+2x^3-1.
a) Bestimme die Extrempunkte der Funktion f(x)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x).
b) Gib ohne weitere Rechnung die Anzahl der Nullstellen von f(x)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x) an und begründe deine Vorhersage.
Hinweis 1 (Teilaufgabe a)

Um die Extrempunkte einer Funktion zu bestimmen, muss die Funktion abgeleitet werden.

Hinweis 2 (Teilaufgabe a)

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist, dass die erste Ableitung null ist.

Hinweis 3 (Teilaufgabe a)

Die hinreichende Bedingung für einen Extrempunkt ist, dass die zweite Ableitung an der Stelle nicht null ist. Wenn sie null ist, könnte ein Sattelpunkt vorliegen.

Hinweis 4 (Teilaufgabe a)

Die y\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} y-Werte eines Punktes lassen sich bestimmen, indem die x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x-Werte in die Funktion eingesetzt werden.

Hinweis 5 (Teilaufgabe b)

Eine Nullstelle ist ein x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x-Wert, dessen zugehöriger Funktionswert null ist. An einer Nullstelle wird die x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x-Achse geschnitten oder berührt.

Hinweis 6 (Teilaufgabe b)

Die maximale Anzahl an Nullstellen entspricht dem Grad einer Funktion.

Hinweis 7 (Teilaufgabe b)

Mithilfe des Vorzeichens vor dem x4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^4 lässt sich vorhersagen, ob die Funktion nach unten oder oben geöffnet ist.

Hinweis 8 (Teilaufgabe b)

Wenn die y\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} y-Werte der Extrempunkte im positiven Bereich liegen, muss die x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x-Achse geschnitten werden, wenn die Funktion nach unten geöffnet ist.

Lösung

a) Für die Bestimmung der Extremstellen werden die erste und die zweite Ableitung der Funktion gebildet.

f(x)=-x4+2x31\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x) = \text{-}x^4+2x^3-1
f(x)=-4x3+6x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f'(x) = \text{-}4x^3+6x^2
f(x)=-12x2+12x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f''(x) = \text{-}12x^2+12x


Die notwendige Bedingung für einen Extremwert ist, dass die erste Ableitung null ist:


f(x)=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f'(x) = 0


Daraus ergibt sich die folgende Gleichung:


-4x3+6x2=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \text{-}4x^3+6x^2= 0


Die Gleichung wird gelöst. Dazu wird zuerst x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^2 ausgeklammert:


x2(-4x+6)=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^2(\text{-}4x+6)= 0


Der Nullproduktsatz führt zu zwei Gleichungen, die nach x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x aufgelöst werden:


x2=0 \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^2 =0\ und  -4x+6=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \ \text{-4}x+6=0
x1=0 \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1=0\ und  x2=32\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \ x_2 =\frac{3}{2}


Um zu prüfen, welche Art von Extrempunkt vorliegt, wird die hinreichende Bedingung für einen Extrempunkt untersucht. Die berechneten x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x-Werte werden dafür in die zweite Ableitung eingesetzt:


f(x1)=f(0)=-1202+120=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f''(x_1)=f''(0)=\text{-}12\cdot0^2+12\cdot0 =0


Da die zweite Ableitung an der Stelle x1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1 null ist, könnte es sich um einen Sattelpunkt handeln. Um das zu untersuchen, wird die dritte Ableitung bestimmt:


f(x)=-24x+12\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f'''(x) = \text{-}24x+12


x1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1 wird in die dritte Ableitung eingesetzt:


f(x1)=f(0)=-240+12=-120\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f'''(x_1)=f'''(0) = \text{-}24\cdot0+12=\text{-}12 \neq 0


Da die dritte Ableitung ungleich null ist, handelt es sich um einen Sattelpunkt.

Nun wird noch die hinreichende Bedingung für x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2 geprüft:


f(x2)=f(32)=-12(32)2+1232=-9<0 \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f''(x_2)= f''(\frac{3}{2})=\text{-}12\cdot(\frac{3}{2})^2+12\cdot\frac{3}{2} = \text{-}9<0\  \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \ \rArr Hochpunkt


Für x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2 ist die hinreichende Bedingung erfüllt. Da die zweite Ableitung an der Stelle x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2 kleiner als null ist, handelt es sich um einen Hochpunkt. Im letzten Schritt werden nun noch die y\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} y-Werte für den Sattelpunkt bestimmt. Dazu werden x1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1 und x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2 in die Ursprungsfunktion eingesetzt:


f(x1)=f(0)=-04+2031=-1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x_1)=f(0) = \text{-}0^4+2\cdot0^3-1=\text{-}1


f(x2)=f(32)=-324+23231=1116\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x_2)=f(\frac{3}{2}) = \text{-}\frac{3}{2}^4+2\cdot\frac{3}{2}^3-1=\frac{11}{16}


Nun liegen alle Werte vor, sodass die Koordinaten des Sattelpunktes und des Hochpunktes angegeben werden können:


S(0-1),H(321116)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S(0|\text{-}1), H(\frac{3}{2}|\frac{11}{16})


b) Eine Funktion vierten Grades hat maximal vier Nullstellen. Der Sattelpunkt hat die Koordinaten S(0-1)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S(0|\text{-}1), er liegt also unterhalb der x-Achse. Da es für x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x-Werte, die kleiner sind als null, keine weiteren Extrempunkte gibt und die Funktion nach unten geöffnet ist, gibt es keine Nullstelle im negativen Bereich. Der Hochpunkt liegt bei H(321116)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} H(\frac{3}{2}|\frac{11}{16}) und liegt somit oberhalb der x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x-Achse. Um den Hochpunkt zu erreichen, muss die Funktion die x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x-Achse einmal davor und einmal dahinter schneiden. Da es keine weiteren Extrempunkte gibt, bleibt es bei den beiden Nullstellen.


Mit einer Zeichnung der Funktion lässt sich die Vorhersage bestätigen:

-4-3-2-11234x-3-2-112yoriginOf(x)