• Flächenberechnung Kreis
  • MNWeG
  • 14.01.2022
  • Mathematik
  • Messen
  • E (Expertenstandard)
  • 6
  • Versuch
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Hinweis

Sieh dir zunächst den Film auf dem Material FILM: Flächenberechnung eines Kreises an und versuche dann ohne weitere Hilfsmittel diesen Versuch durchzuführen.

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Versuche nochmals in eigenen Worten zu erklären, wie sich die Formel zur Flächenberechnung eines Kreises herleiten lässt.
Lösung
Zerlegt man den Kreis in viele Kreisausschnitte (im Video durch Pizzastücke dargestellt) und ordnet man diese Kreisausschnitte immer mit dem Rand abwechselnd oben und unten nebeneinander an, dann ergibt sich annähernd ein Rechteck.










Die langen Seiten des Rechtecks (im Video die Ränder der Pizzastücke) sind so lange, wie der Umfang des Kreises, also: UK=2πr\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} U_{K}=2\cdot \pi \cdot r.
Demnach ist eine dieser Seiten genau halb so lang, also: Seitea=πr\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Seite_{a}=\pi \cdot r.



Nun kann man den Flächeninhalt wie bei einem Rechteck berechnen, indem man die Seite a\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a mit der Seite b\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} b multipliziert. Und die Seite b\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} b ist genau der Radius (r\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} r) des Kreises.
Es gilt also die Formel wie bei der Flächenberechnung eines Rechtecks, nur dass die Seite a\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a durch 2πr\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \pi \cdot r und die Seite b\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} b durch den Radius r\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} r ersetzt werden:

AK=    a         b=(πr)     r=πr2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} A_{K}&=\ \ \ \ a \ \ \ \ \cdot\ \ \ \ \ b\\ &= (\pi \cdot r) \cdot\ \ \ \ \ r\\ &= \pi \cdot r² \end{aligned}