• Flächeninhalt eines Trapezes
  • MNWeG
  • 14.01.2022
  • Mathematik
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Hast du dir schon die Materialien INFO: Flächeninhalt eines Dreiecks und INFO: Flächeninhalt eines Parallelogramms angesehen?

Wenn nein, dann sieh sie dir zuerst an!

Sowohl beim Dreieck als auch beim Parallelogramm haben wir einen Trick angewendet, um ihren Flächeninhalt berechnen zu können. Hast du eine Idee, wie man bei einem Trapez vorgehen könnte?
Stell dir einen Timer auf 5 Minuten, nimm ein Geodreieck und einen Bleistift und versuche selbst, eine Lösung zu finden, bevor du auf den nächsten Seiten erfährst, wie es funktioniert!

Lösung

Sicher hast du es selbst herausgefunden. Hier aber nochmal Schritt für Schritt:

Ein Trapez ist eine Fläche, bei der nur zwei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind.
Der Trick, eine Ecke abszuschneiden und auf der anderen Seite anzukleben funktioniert hier also leider nicht (zumindest nicht immer - aber dazu später mehr).

c\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} c

b\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} b

d\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} d

a\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a

c\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} c

a\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a

Wenn man aber (wie beim Dreieck) die Fläche verdoppelt und umdreht, entsteht ein Parallelogramm.
Merke: Die Fläche ist jetzt also doppelt so groß wie das ursprüngliche Trapez!

b\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} b

d\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} d

d\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} d

b\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} b

a\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a

c\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} c

ca

Nun kann man wieder die Spitze abschneiden und auf der anderen Seite ankleben, um ein Rechteck zu erhalten.

Die Grundseite des Rechtecks ist nun aber nicht einfach a\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a, sondern a+c\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a+c.


A=ab\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A_\Box=a \cdot b

Diese Grundseite (a+c\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a+c) müssen wir nun wieder mit der Höhe von a (ha\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h_{a}) multiplizieren, um den Flächeninhalt des Rechtecks zu erhalten.
Da das Rechteck aber aus zwei Trapezen besteht, müssen wir das Ergebnis noch halbieren!

Die Formel zur Flächenberechnung eines Trapezes lautet also:

caha
Formel zur Flächenberechnung eines Trapezes

ATrapez=(a+c)ha2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A_{Trapez}=\frac{(a+c) \cdot h_{a}}{2}