Lösung

Aus der Angabe, dass der Punkt $S(x_1|0)$ ein Sattelpunkt ist, folgt:



$f(x_1)=0$

$f^{\prime }(x_1)=0$

$f^{\prime \prime }(x_1)=0$

$f^{\prime \prime \prime }(x_1)\ne 0$



Um zu überprüfen, ob bei $g(x)$ einen Sattelpunkt vorliegt, werden die Ableitungen der Funktion mithilfe der Produktregel bestimmt:





$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\cdot x+f(x)$

$g^{\prime \prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)\cdot x+f^{\prime }(x)+f^{\prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)\cdot x+2\cdot f^{\prime }(x)$

$g^{\prime \prime \prime }(x)=f^{\prime \prime \prime }(x)\cdot x+f^{\prime \prime }(x)+2\cdot f^{\prime \prime }(x)=f^{\prime \prime \prime }(x)\cdot x+3\cdot f^{\prime }(x)$



Der $x$-Wert $x_1$ wird in die Ableitungen eingesetzt:



$g^{\prime }(x_1)=f^{\prime }(x_1)\cdot x_1+f(x_1)$

$g^{\prime \prime }(x_1)=f^{\prime \prime }(x_1)\cdot x_1+2\cdot f^{\prime }(x_1)$

$g^{\prime \prime \prime }(x_1)=f^{\prime \prime \prime }(x_1)\cdot x_1+3\cdot f^{\prime }(x_1)$



In den Ableitungen werden die Werte von oben (also immer null) eingesetzt:



$g^{\prime }(x_1)=0\cdot x_1+0$

$g^{\prime \prime }(x_1)=0\cdot x_1+2\cdot 0$

$g^{\prime \prime \prime }(x_1)=f^{\prime \prime \prime }(x_1)\cdot x_1+3\cdot 0$



Aus der Zusammenfassung folgt, dass die erste und die zweite Ableitung jeweils null sind. Bei der dritten Ableitung bleibt das Produkt $f^{\prime \prime \prime }(x_1)\cdot x_1$ stehen. Da bekannt ist, dass beide Faktoren ungleich null sind, muss auch das Produkt ungleich null sein.



$g^{\prime }(x_1)=0$

$g^{\prime \prime }(x_1)=0$

$g^{\prime \prime \prime }(x_1)=f^{\prime \prime \prime }(x_1)\cdot x_1\ne 0$



Somit sind alle Bedingungen für einen Sattelpunkt der Funktion $g(x)$ an der Stelle $x_1$ erfüllt.