• Funktion mit Sattelpunkt
  • MNWeG
  • 26.10.2021
  • Mathematik
  • Funktionen
  • 11
  • Arbeitsblatt
Um die Lizenzinformationen zu sehen, klicken Sie bitte den gewünschten Inhalt an.
Über die Funktion f(x)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x) ist bekannt, dass sie den Sattelpunkt S(x10)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} S(x_1|0) mit x10\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1 \neq 0 hat. Für eine zweite Funktion gilt g(x)=f(x)x\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g(x) = f(x) \cdot x. Zeige, dass die Funktion g(x)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g(x) an der Stelle x1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1 ebenfalls einen Sattelpunkt hat.
Hinweis 1

Aus den Koordinaten des Sattelpunkts folgt: f(x1)=0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)=0.

Hinweis 2

An einem Sattelpunkt ist die erste Ableitung null.

Hinweis 3

Die zweite Ableitung ist an einem Sattelpunkt ebenfalls null.

Hinweis 4

Die dritte Ableitung ist an einem Sattelpunkt hingegen ungleich null.

Hinweis 5

Die Funktion g(x)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g(x) lässt sich mithilfe der Produktregel ableiten.

Hinweis 6

Die erste Ableitung von g(x)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g(x) ist g(x)=f(x)x + f(x)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g'(x)=f'(x) \cdot x \ +\ f(x).

Lösung

Aus der Angabe, dass der Punkt S(x10)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} S(x_1|0) ein Sattelpunkt ist, folgt:

f(x1)=0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1) = 0
f(x1)=0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f'(x_1) = 0
f(x1)=0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f''(x_1) = 0
f(x1)0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f'''(x_1) \neq 0

Um zu überprüfen, ob bei g(x)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g(x) einen Sattelpunkt vorliegt, werden die Ableitungen der Funktion mithilfe der Produktregel bestimmt:


g(x)=f(x)x + f(x)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g'(x) = f'(x) \cdot x \ +\ f(x)
g(x)=f(x)x + f(x)+f(x)=f(x)x + 2f(x)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g''(x) = f''(x) \cdot x\ + \ f'(x) + f'(x) = f''(x) \cdot x\ + \ 2\cdot f'(x)
g(x)=f(x)x + f(x)+2f(x)=f(x)x + 3f(x)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g'''(x) =f'''(x) \cdot x\ + \ f''(x) + 2\cdot f''(x) = f'''(x) \cdot x\ + \ 3\cdot f'(x)


Der x\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x-Wert x1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1 wird in die Ableitungen eingesetzt:


g(x1)=f(x1)x1 + f(x1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g'(x_1) = f'(x_1) \cdot x_1 \ +\ f(x_1)
g(x1)=f(x1)x1 + 2f(x1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g''(x_1) = f''(x_1) \cdot x_1\ + \ 2\cdot f'(x_1)
g(x1)=f(x1)x1 + 3f(x1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g'''(x_1) = f'''(x_1) \cdot x_1\ + \ 3\cdot f'(x_1)


In den Ableitungen werden die Werte von oben (also immer null) eingesetzt:


g(x1)=0x1 + 0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g'(x_1) = 0 \cdot x_1 \ +\ 0
g(x1)=0x1 + 20\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g''(x_1) =0 \cdot x_1\ + \ 2\cdot 0
g(x1)=f(x1)x1 + 30\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g'''(x_1) = f'''(x_1) \cdot x_1\ + \ 3\cdot 0


Aus der Zusammenfassung folgt, dass die erste und die zweite Ableitung jeweils null sind. Bei der dritten Ableitung bleibt das Produkt f(x1)x1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f'''(x_1) \cdot x_1 stehen. Da bekannt ist, dass beide Faktoren ungleich null sind, muss auch das Produkt ungleich null sein.

g(x1)=0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g'(x_1) = 0
g(x1)=0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g''(x_1) = 0
g(x1)=f(x1)x10\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g'''(x_1) = f'''(x_1) \cdot x_1\neq 0


Somit sind alle Bedingungen für einen Sattelpunkt der Funktion g(x)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g(x) an der Stelle x1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1 erfüllt.