Lösung

Aus der Angabe, dass der Punkt $\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S(x_1|0)$ ein Sattelpunkt ist, folgt:



$\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x_1) = 0$

$\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f'(x_1) = 0$

$\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f''(x_1) = 0$

$\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f'''(x_1) \neq 0$



Um zu überprüfen, ob bei $\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g(x)$ einen Sattelpunkt vorliegt, werden die Ableitungen der Funktion mithilfe der Produktregel bestimmt:





$\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g'(x) = f'(x) \cdot x \ +\ f(x)$

$\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g''(x) = f''(x) \cdot x\ + \ f'(x) + f'(x) = f''(x) \cdot x\ + \ 2\cdot f'(x)$

$\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g'''(x) =f'''(x) \cdot x\ + \ f''(x) + 2\cdot f''(x) = f'''(x) \cdot x\ + \ 3\cdot f'(x)$



Der $\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x$-Wert $\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1$ wird in die Ableitungen eingesetzt:



$\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g'(x_1) = f'(x_1) \cdot x_1 \ +\ f(x_1)$

$\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g''(x_1) = f''(x_1) \cdot x_1\ + \ 2\cdot f'(x_1)$

$\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g'''(x_1) = f'''(x_1) \cdot x_1\ + \ 3\cdot f'(x_1)$



In den Ableitungen werden die Werte von oben (also immer null) eingesetzt:



$\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g'(x_1) = 0 \cdot x_1 \ +\ 0$

$\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g''(x_1) =0 \cdot x_1\ + \ 2\cdot 0$

$\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g'''(x_1) = f'''(x_1) \cdot x_1\ + \ 3\cdot 0$



Aus der Zusammenfassung folgt, dass die erste und die zweite Ableitung jeweils null sind. Bei der dritten Ableitung bleibt das Produkt $\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f'''(x_1) \cdot x_1$ stehen. Da bekannt ist, dass beide Faktoren ungleich null sind, muss auch das Produkt ungleich null sein.



$\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g'(x_1) = 0$

$\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g''(x_1) = 0$

$\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g'''(x_1) = f'''(x_1) \cdot x_1\neq 0$



Somit sind alle Bedingungen für einen Sattelpunkt der Funktion $\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g(x)$ an der Stelle $\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1$ erfüllt.