• Funktionsrekonstruktion
  • MNWeG
  • 07.02.2022
  • Mathematik
  • Gleichungen
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1
Bring die Schritte zur Rekonstruktion einer Funktion in die richtige Reihenfolge.
(1-6)
  • 3
    Prüfen, ob ausreichend Bedingungen bekannt sind: Es muss mindestens so viele Bedingungen wie Variablen in der allgemeinen Funktionsgleichung geben.
  • 4
    Bedingungen in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen, um ein LGS aufzustellen
  • 1
    Bedingungen aus der Aufgabe herauslesen
  • 5
    LGS lösen
  • 6
    Funktionsgleichung aufstellen
  • 2
    Grad der Funktion bestimmen, allgemeine Funktionsgleichung aufstellen, bei Bedarf
    Ableitungen bilden
2
Ordne den Angaben die passende Bedingung zu.
  • Die Funktion hat bei x = 2 eine Extremstelle.
    1
  • Die Funktion geht durch den Punkt P (4|1).
    2
  • Die Funktion hat eine Nullstelle bei x = 4.
    3
  • Die Funktion zweiten Grades ist achsensymmetrisch.
    4
  • Die Funktion schneidet die y-Achse bei -1.
    5
  • Die Funktion hat bei x = -1 die Steigung 2.
    6
  • Die Funktion geht durch den Ursprung.
    7
  • 4
    b = 0
  • 2
    f(4) = 1
  • 6
    f'(-1) = 2
  • 5
    f(0) = -1
  • 3
    f(4) = 0
  • 7
    f(0) = 0
  • 1
    f'(2) = 0
3
Gib die allgemeine Funktionsgleichung einer Funktion dritten Grades an.
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
4
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion. Ergänze die Bedingungen, die sich aus der Abbildung herauslesen lassen.
f(-3) =
f'(-1) =
f(0) =
-3-2-1123x-2-112yoriginOf(x)
f(-3) = 2
f'(-1) = 0
f(0) = -1
5
Eine Parabel geht durch die Punkte A (-2|10), B (0|1) und C (2|8). Ermittle die richtige Funktionsgleichung, indem du bei jedem Schritt die richtigen Angaben auswählst.

Schritt 1:
Welche Bedingungen ergeben sich aus den Angaben in der Aufgabe?
a)
I. f(-2) = 10
II. f'(-2) = 0
III. f(0) = 1


Schritt 2:
Welche allgemeine Funktionsgleichung muss zum Lösen der Aufgabe verwendet werden?
a)
Eine Parabel ist eine
lineare Funktion.
f(x) = ax + b


Schritt 3:
Stimmt die Zahl der Variablen mit der Zahl der Bedingungen überein?
a)
Es gibt mehr Variablen
als Bedingungen.


Schritt 4:
Welches LGS passt zu den Bedingungen?
a)
(4-211000114218)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 4 & \text{-}2 & 1 & 10 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 & 8 \\ \end{array} \right)


Schritt 5:
Welche Lösungsmenge gehört zum richtigen LGS?
a)
L={2;1;1}\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} L= &\{2; 1; 1\}\\ \end{aligned}


Schritt 6:
Welche Funktionsgleichung ergibt sich aus der Lösungsmenge?
a)
f(x) = 2x² + x + 1

b)

I. f'(-2) = 10

II. f'(0) = 1

III. f'(2) = 8

c)

I. f(-2) = 10

II. f(0) = 1

III. f(2) = 8

b)
Eine Parabel ist eine
quadratische Funktion.
f(x) = ax² + bx + c

c)
Eine Parabel ist eine
Funktion dritten Grades.
f(x) = ax³ + bx² + cx + d

b)
Die Anzahl ist gleich.

c)
Es gibt mehr Bedin-
gungen als Variablen.

b)
(4-211011111201)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 4 & \text{-}2 & 1 & 10 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)

c)
(2-211211111218)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 2 & \text{-}2 & 1 & 12 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 8 \\ \end{array} \right)

b)
L={-2;0,5;1}\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} L= &\{\text{-}2; 0{,}5; 1\}\\ \end{aligned}

c)
L={2;-0,5;1}\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} L= &\{2; \text{-}0{,}5; 1\}\\ \end{aligned}

b)
f(x) = -2x² + 0,5x + 1

c)
f(x) = 2x² – 0,5x + 1

Die richtigen Angaben sind: 1c, 2b, 3b, 4a, 5c, 6c
6
Eine Funktion zweiten Grades schneidet die y-Achse bei -2 und geht durch die Punkte A (-4|-2) und B (2|4). Ermittle die Funktionsgleichung.
f(x) = ax² + bx + c
I. f(0) = -2
II. f(-4) = -2
III. f(2) = 4
f(x) = 0,5 x² + 2x – 2
f(x) ax3+ bx2+ cx +d
I. f(-2) = 0
II. f(4) = 0
III. f'(4) = 0
IV. f(0) = 8
f(x) = 0,25x³ – 1,5x² + 8
7
Eine Funktion dritten Grades hat eine Nullstelle bei x = -2, berührt die x-Achse bei
x = 4 und schneidet die y-Achse bei 8. Ermittle die Funktionsgleichung.
8
Eine Funktion vierten Grades ist symmetrisch zur y-Achse. Sie hat bei x = 0,5 eine Wendetangente mit der Steigung -1. Die y-Achse schneidet die Funktion bei -3. Ermittle die Funktionsgleichung.
f(x) = ax4 + cx2 + e
I. f'(0,5) = -1
II. f''(0,5) = 0
III. f(0) = -3
f(x) = x4 – 1,5x2 – 3
9
Ermittle die Funktionsgleichungen der beiden Parabeln, die in der Abbildung dargestellt sind.
-3-2-1123x-5-4-3-2-11234yoriginOg(x)f(x)
Als erstes wird die Funktionsgleichung von f(x) bestimmt, da sich bei dieser Funktion Bedingungen leicht ablesen lassen:
f(x) = ax2 + bx + c
I. f(0) = -5
II. f'(0) = 0
III. f(1) = -4
f(x) = x2 – 5

Da für g(x) neben dem Scheitelpunkt keine anderen Punkte leicht ablesbar sind, werden mit f(x) die gemeinsamen Nullstellen der beiden Funktionen bestimmt: N1 (-√5|0) und N2 (√5|0).
Damit sind die Bedingungen von g(x):
g(x) = ax2 + bx + c
I. f(0) = 1
II. f'(0) = 0
III. f(√5) = 0
g(x) = -0,2x2 + 1
10
Ein Basketballspieler wirft einen Ball in 2 m Höhe ab. Nach 4 m erreicht der Ball in
3 m Höhe den höchsten Punkt seiner parabelförmigen Flugbahn. Berechne, wie weit der Ball fliegt. Fertige dazu eine Skizze an, lege ein geeignetes Koordinatensystem fest und ermittle die Funktionsgleichung der Flugbahn.
Wenn das Koordinatensystem so festgelegt wird, dass der Spieler den Ball im Punkt P (0|2) loslässt, ergibt sich eine Funktion zweiten Grades mit den Bedingungen (alle Angaben in m):
f(x) = ax² + bx + c
I. f(0) = 2
II. f(4) = 3
III. f'(4) = 0
Aus der Lösung des LGS folgt die Funktionsgleichung f(x) = -0,0625 x2 + 0,5 x + 2
Der Ball landet in der Nullstelle N (0|10,93). Der Ball fliegt also etwa 10,93 m weit.