• Funktionsrekonstruktion
  • MNWeG
  • 07.02.2022
  • Mathematik
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1
Ordne den Angaben die passende Bedingung zu.
  • Die Funktion hat bei x = 2 eine Extremstelle.
    1
  • Die Funktion geht durch den Punkt P (4|1).
    2
  • Die Funktion hat eine Nullstelle bei x = 4.
    3
  • Die Funktion zweiten Grades ist achsensymmetrisch.
    4
  • Die Funktion schneidet die y-Achse bei -1.
    5
  • Die Funktion hat bei x = -1 die Steigung 2.
    6
  • Die Funktion geht durch den Ursprung.
    7
  • 4
    b = 0
  • 2
    f(4) = 1
  • 6
    f'(-1) = 2
  • 5
    f(0) = -1
  • 3
    f(4) = 0
  • 7
    f(0) = 0
  • 1
    f'(2) = 0
2
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion. Ergänze die Bedingungen, die sich aus der Abbildung herauslesen lassen.
f(-3) =
f'(-1) =
f(0) =
-3-2-1123x-2-112yoriginOf(x)
f(-3) = 2
f'(-1) = 0
f(0) = -1
f(x) = ax² + bx + c
I. f(0) = -2
II. f(-4) = -2
III. f(2) = 4
f(x) = 0,5 x² + 2x – 2
3
Eine Funktion zweiten Grades schneidet die y-Achse bei -2 und geht durch die Punkte A (-4|-2) und B (2|4). Ermittle die Funktionsgleichung.
f(x) ax3+ bx2+ cx +d
I. f(-2) = 0
II. f(4) = 0
III. f'(4) = 0
IV. f(0) = 8
f(x) = 0,25x³ – 1,5x² + 8
4
Eine Funktion dritten Grades hat eine Nullstelle bei x = -2, berührt die x-Achse bei
x = 4 und schneidet die y-Achse bei 8. Ermittle die Funktionsgleichung.
5
Eine Funktion vierten Grades ist symmetrisch zur y-Achse. Sie hat bei x = 0,5 eine Wendetangente mit der Steigung -1. Die y-Achse schneidet die Funktion bei -3. Ermittle die Funktionsgleichung.
f(x) = ax4 + cx2 + e
I. f'(0,5) = -1
II. f''(0,5) = 0
III. f(0) = -3
f(x) = x4 – 1,5x2 – 3
6
Ermittle die Funktionsgleichungen der beiden Parabeln, die in der Abbildung dargestellt sind.
-3-2-1123x-5-4-3-2-11234yoriginOg(x)f(x)
Als erstes wird die Funktionsgleichung von f(x) bestimmt, da sich bei dieser Funktion Bedingungen leicht ablesen lassen:
f(x) = ax2 + bx + c
I. f(0) = -5
II. f'(0) = 0
III. f(1) = -4
f(x) = x2 – 5

Da für g(x) neben dem Scheitelpunkt keine anderen Punkte leicht ablesbar sind, werden mit f(x) die gemeinsamen Nullstellen der beiden Funktionen bestimmt: N1 (-√5|0) und N2 (√5|0).
Damit sind die Bedingungen von g(x):
g(x) = ax2 + bx + c
I. f(0) = 1
II. f'(0) = 0
III. f(√5) = 0
g(x) = -0,2x2 + 1
7
Ermittle die Funktionsgleichung der Normalen der Funktion f(x) = -4x3 + 7x2 an der Stelle x = 1 mithilfe eines LGS.
Für den Berührpunkt und die Steigung der Tangente ergibt sich: f(1) = 3 und f'(1) = nT = 2
Daraus folgen die Bedingungen für die Normale:
n(x) = aNx + b
I. aN · 2 = -1
II. f(1) = 3
n(x) = -0,5x + 3,5
8
Eine Funktion dritten Grades hat im Scheitelpunkt der Parabel f(x) = -x2 + 4x einen Hochpunkt und in dem Punkt, in dem die Parabel die x-Achse von oben kommend schneidet, einen Tiefpunkt. Bestimme die Funktionsgleichung der Funktion.
Die Untersuchung der Parabel ergibt: H (2|4), N1(0|0) und N2(4|0) . Da die Parabel nach unten geöffnet ist, schneidet sie die x-Achse von oben kommend in der Nullstelle mit dem höheren x-Wert, also bei x = 4. Für die gesuchte Funktion ergibt sich:
h(x) = ax3 + bx2 + cx + d
I. h(2) = 4
II. h'(2) = 0
III. h(4)= 0
IV. h'(4)=0
h(x) = x3 – 9x2 + 24x – 16
9
Ermittle die Funktionsgleichung der Wendenormalen der Funktion
f (x) = -2x3 – 6x2 – 2x + 4 mithilfe eines LGS.
Die Untersuchung der Funktion ergibt: W (-1|2) mit der Steigung f'(-1) = nT = 4
Daraus folgen die Bedingungen für die Normale:
n(x) = aNx + b
I. aN · 4 = -1
II. f(-1) = 2
n(x) = -0,25x + 1,75
10
Eine Eisenbahnbrücke ist 80 m lang. Sie wird von einem parabelförmigen Bogen überspannt. Am Rand der Brücke hat der Bogen eine Höhe von 5 m. Der höchste Punkt der Brücke liegt bei 25 m. Bestimme die Höhe h\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h der Stahlträger.
xyhh25 m5 m80 m
Wenn das Koordinatensystem so festgelegt wird, dass die x-Achse der Boden ist und die y-Achse die Parabel im höchsten Punkt schneidet, ist die Funktion achsensymmetrisch. Die allgemeine Funktionsgleichung lautet dann: f(x) = ax2+c
Die Bedingungen sind:
I. f(-40) = 5
II. f(0) = 25
Aus der Lösung des LGS ergibt sich die Gleichung:
f(x) = -0,0125 x2+25
Damit wird die Höhe h\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h des Stahlträgers bestimmt:
h\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h = f(-20) = -0,0125 (-20)2+25 = 20 m
Die Höhe h\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h des Stahlträgers ist 20 m.
11
Ein Basketballspieler wirft einen Ball in 2 m Höhe ab. Nach 4 m erreicht der Ball in
3 m Höhe den höchsten Punkt seiner parabelförmigen Flugbahn. Berechne, wie weit der Ball fliegt. Fertige dazu eine Skizze an, lege ein geeignetes Koordinatensystem fest und ermittle die Funktionsgleichung der Flugbahn.
Wenn das Koordinatensystem so festgelegt wird, dass der Spieler den Ball im Punkt P (0|2) loslässt, ergibt sich eine Funktion zweiten Grades mit den Bedingungen (alle Angaben in m):
f(x) = ax² + bx + c
I. f(0) = 2
II. f(4) = 3
III. f'(4) = 0
Aus der Lösung des LGS folgt die Funktionsgleichung f(x) = -0,0625 x2 + 0,5 x + 2
Der Ball landet in der Nullstelle N (0|10,93). Der Ball fliegt also etwa 10,93 m weit.