• Funktionsrekonstruktion
  • MNWeG
  • 21.04.2021
  • Mathematik
  • Gleichungen
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1
Bring die Schritte zur Rekonstruktion einer Funktion in die richtige Reihenfolge.
(1-6)
  • Prüfen, ob ausreichend Bedingungen bekannt sind: Es muss mindestens so viele Bedingungen wie Variablen in der allgemeinen Funktionsgleichung geben.
  • Bedingungen in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen, um ein LGS aufzustellen
  • Bedingungen aus der Aufgabe herauslesen
  • LGS lösen
  • Funktionsgleichung aufstellen
  • Grad der Funktion bestimmen, allgemeine Funktionsgleichung aufstellen, bei Bedarf
    Ableitungen bilden
2
Ordne den Angaben die passende Bedingung zu.
  • Die Funktion hat bei x = 2 eine Extremstelle.
    1
  • Die Funktion geht durch den Punkt P (4|1).
    2
  • Die Funktion hat eine Nullstelle bei x = 4.
    3
  • Die Funktion zweiten Grades ist achsensymmetrisch.
    4
  • Die Funktion schneidet die y-Achse bei -1.
    5
  • Die Funktion hat bei x = -1 die Steigung 2.
    6
  • Die Funktion geht durch den Ursprung.
    7
  • b = 0
  • f(4) = 1
  • f'(-1) = 2
  • f(0) = -1
  • f(4) = 0
  • f(0) = 0
  • f'(2) = 0
3
Gib die allgemeine Funktionsgleichung einer Funktion dritten Grades an.
4
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion. Ergänze die Bedingungen, die sich aus der Abbildung herauslesen lassen.
f(-3) =
f'(-1) =
f(0) =
-3-2-1123x-2-112yoriginOf(x)
5
Eine Parabel geht durch die Punkte A (-2|10), B (0|1) und C (2|8). Ermittle die richtige Funktionsgleichung, indem du bei jedem Schritt die richtigen Angaben auswählst.

Schritt 1:
Welche Bedingungen ergeben sich aus den Angaben in der Aufgabe?
a)
I. f(-2) = 10
II. f'(-2) = 0
III. f(0) = 1


Schritt 2:
Welche allgemeine Funktionsgleichung muss zum Lösen der Aufgabe verwendet werden?
a)
Eine Parabel ist eine
lineare Funktion.
f(x) = ax + b


Schritt 3:
Stimmt die Zahl der Variablen mit der Zahl der Bedingungen überein?
a)
Es gibt mehr Variablen
als Bedingungen.


Schritt 4:
Welches LGS passt zu den Bedingungen?
a)
(4-211000114218)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 4 & \text{-}2 & 1 & 10 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 & 8 \\ \end{array} \right)


Schritt 5:
Welche Lösungsmenge gehört zum richtigen LGS?
a)
L={2;1;1}\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{aligned} L= &\{2; 1; 1\}\\ \end{aligned}


Schritt 6:
Welche Funktionsgleichung ergibt sich aus der Lösungsmenge?
a)
f(x) = 2x² + x + 1

b)

I. f'(-2) = 10

II. f'(0) = 1

III. f'(2) = 8

c)

I. f(-2) = 10

II. f(0) = 1

III. f(2) = 8

b)
Eine Parabel ist eine
quadratische Funktion.
f(x) = ax² + bx + c

c)
Eine Parabel ist eine
Funktion dritten Grades.
f(x) = ax³ + bx² + cx + d

b)
Die Anzahl ist gleich.

c)
Es gibt mehr Bedin-
gungen als Variablen.

b)
(4-211011111201)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 4 & \text{-}2 & 1 & 10 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)

c)
(2-211211111218)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 2 & \text{-}2 & 1 & 12 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 8 \\ \end{array} \right)

b)
L={-2;0,5;1}\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{aligned} L= &\{\text{-}2; 0{,}5; 1\}\\ \end{aligned}

c)
L={2;-0,5;1}\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{aligned} L= &\{2; \text{-}0{,}5; 1\}\\ \end{aligned}

b)
f(x) = -2x² + 0,5x + 1

c)
f(x) = 2x² – 0,5x + 1

6
Eine Funktion zweiten Grades schneidet die y-Achse bei -2 und geht durch die Punkte A (-4|-2) und B (2|4). Ermittle die Funktionsgleichung.
7
Eine Funktion dritten Grades hat eine Nullstelle bei x = -2, berührt die x-Achse bei
x = 4 und schneidet die y-Achse bei 8. Ermittle die Funktionsgleichung.
8
Eine Funktion vierten Grades ist symmetrisch zur y-Achse. Sie hat bei x = 0,5 eine Wendetangente mit der Steigung -1. Die y-Achse schneidet die Funktion bei -3. Ermittle die Funktionsgleichung.
9
Ermittle die Funktionsgleichungen der beiden Parabeln, die in der Abbildung dargestellt sind.
-3-2-1123x-5-4-3-2-11234yoriginOg(x)f(x)
10
Ermittle die Funktionsgleichung der Normalen der Funktion f(x) = -4x3 + 7x2 an der Stelle x = 1 mithilfe eines LGS.
11
Ermittle die Funktionsgleichung der Wendenormalen der Funktion
f (x) = -2x3 – 6x2 – 2x + 4 mithilfe eines LGS.
12
Eine Funktion dritten Grades hat im Scheitelpunkt der Parabel f(x) = -x2 + 4x einen Hochpunkt und in dem Punkt, in dem die Parabel die x-Achse von oben kommend schneidet, einen Tiefpunkt. Bestimme die Funktionsgleichung der Funktion.
13
Ein Basketballspieler wirft einen Ball in 2 m Höhe ab. Nach 4 m erreicht der Ball in
3 m Höhe den höchsten Punkt seiner parabelförmigen Flugbahn. Berechne, wie weit der Ball fliegt. Fertige dazu eine Skizze an, lege ein geeignetes Koordinatensystem fest und ermittle die Funktionsgleichung der Flugbahn.