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  • Geraden und Ebenen
  • MNWeG
  • 04.02.2022
  • Mathematik
  • Vektoren
  • 12
  • Arbeitsblatt
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AB
Geraden und Ebenen
Mathematik Vektoren 12
1
Verbinde die Satzteile, sodass wahre Aussagen zu den Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen entstehen.
  • Liegt eine Gerade parallel zu einer Ebene,
  • Schneidet eine Gerade eine Ebene,
  • Liegt eine Gerade in einer Ebene,
  • haben die Gerade und die Ebene genau einen gemeinsamen Schnittpunkt.
  • haben die Gerade und die Ebene unendlich viele gemeinsame Punkte.
  • haben die Gerade und die Ebene keine gemeinsamen Punkte.
2
Ermittle, wie die Geraden zu der Ebene E:3x1−4x2+2x3=-6\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E: 3x_1-4x_2+2x_3 = \text{-}6 liegen. Gib gegebenenfalls den Schnittpunkt an. Nutze für die Berechnungen dein Heft.

a) g ⁣:x→=( 021)+r ⋅( 221)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 0\\2\\1\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 2\\2\\1\end{array} \right)

b) h ⁣:x→=( 231)+r ⋅( 41-4)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 2\\3\\1\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 4\\1\\\text{-}4\end{array} \right)


c) i ⁣:x→=( 5114)+r ⋅( 132)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} i\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 5\\11\\4\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\3\\2\end{array} \right)

d) j ⁣:x→=( 1-23)+r ⋅( 430)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} j\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\\text{-}2\\3\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 4\\3\\0\end{array} \right)
a) g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g liegt in E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E.
b) h\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h ist parallel zu E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E.
c) i\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} i schneidet E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E im Punkt S(2∣2∣-2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S(2|2|\text{-}2)
d) j\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} j ist parallel zu E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E.
3
Berechne, für welchen Wert a\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a die Gerade g ⁣:x→=( 11a)+r ⋅( 121)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\1\\a\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\2\\1\end{array} \right)
 in der Ebene E ⁣:5x1−2x2−1x3=2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: 5x_1-2x_2-1x_3 = 2 liegt.
Für a=1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a=1 liegt g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g in E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E.

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Mathematik Vektoren 12
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Spiegele den Punkt A(-5∣6∣3)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A(\text{-}5|6|3) an der Ebene E ⁣:6x1−2x2−5x3=8\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: 6x_1-2x_2-5x_3 = 8.
Zwischenergebnis: S(1∣4∣-2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S(1|4|\text{-}2)
A′(-5∣6∣3)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A'(\text{-}5|6|3)
5
Der Punkt A(3∣4∣2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A(3|4|2) wurde an der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E gespiegelt. Der Spiegelpunkt ist A′(-1∣2∣0)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A'(\text{-}1|2|0) . Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E.
Der Verbindungsvektor AA′→\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{AA'} ist ein Normalenvektor der gesuchten Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E. Der Mittelpunkt M\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} M der Strecke AB‾\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overline{AB} liegt in der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E.

z. B. E ⁣:2x1+1x2+1x3=6\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: 2x_1+1x_2+1x_3 = 6
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6
Neben dem im INPUT gezeigten Verfahren gibt es eine alternative Vorgehensweise zur Untersuchung der Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen. Dabei wird geprüft, ob der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene ist. Wenn das der Fall ist, wird eine Punktprobe durchgeführt.
a) Erstelle mithilfe der Vorlage ein Schema, das das Vorgehen mit dieser Methode beschreibt.
b) Untersuche die Lagebeziehungen der Geraden und der Ebene aus dem INPUT mit diesem Verfahren.









Gerade und Ebene schneiden sich.





Die Gerade liegt in der Ebene.

Die Gerade liegt parallel zur Ebene.

b) Normalenvektor der Ebene:
n→=( 42-1)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{n} = \left( \begin{array}{r} \ 4\\2\\\text{-}1\end{array} \right)

Untersuchung der Geraden g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g:
( 42-1)⋅( 012)=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \ 4\\2\\\text{-}1\end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{r} \ 0\\1\\2\end{array} \right)=0
⇒\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \rArr Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

Punktprobe:
4⋅2+2⋅1−1⋅1=9≠-4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 4\cdot2+2\cdot1-1\cdot1 =9\neq \text{-} 4
⇒\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \rArr Die Gerade g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g liegt parallel zur Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E.
Untersuchung der Geraden h\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h:
( 42-1)⋅( 12-1)=9≠0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \ 4\\2\\\text{-}1\end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{r} \ 1\\2\\\text{-}1\end{array} \right)=9\neq0
⇒\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \rArr Die Vektoren sind nicht senkrecht auf-einander. Gerade und Ebene schneiden sich.

Untersuchung der Geraden k\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} k:
( 42-1)⋅( 128)=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \ 4\\2\\\text{-}1\end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{r} \ 1\\2\\8\end{array} \right)=0
⇒\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \rArr Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

Punktprobe:
4⋅1+2⋅(-1)−1⋅6=-4 ✓\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 4\cdot1+2\cdot(\text{-}1)-1\cdot6 = \text{-} 4\ \checkmark
⇒\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \rArr Die Gerade k\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} k liegt in der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E.
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Die Gerade g ⁣:x→=( 42-5)+r ⋅( 225)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 4\\2\\\text{-}5\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 2\\2\\5\end{array} \right) verläuft parallel zu der Ebene
E ⁣:x→=( 7-1-5)+s ⋅( 1-10)+t ⋅( 50-2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 7\\\text{-}1\\\text{-}5\end{array} \right) + s\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\\text{-}1\\0\end{array} \right)+ t\ · \left( \begin{array}{r} \ 5\\0\\\text{-}2\end{array} \right) Ermittle eine Geradengleichung der Geraden g′\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g', die sich durch Spiegelung der Geraden g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g an E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E ergibt.
z. B. h ⁣:x→=( -2-2-1)+r ⋅( 225)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ \text{-}2\\\text{-}2\\\text{-}1\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 2\\2\\5\end{array} \right)
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Geraden und Ebenen
Mathematik Vektoren 12
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Auf einem Berghang steht eine Tanne, die gerade in x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_3-Richtung gewachsen ist. Ihre Spitze befindet sich im Punkt P (25|100|130). Die Sonnenstrahlen fallen in Richtung des Vektors s→=( 3-4-7)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{s} = \left( \begin{array}{r} \ 3\\\text{-}4\\\text{-}7\end{array} \right).
Der Berghang kann als Ebene E ⁣:4x1+2x2+x3=400\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: 4x_1+2x_2+x_3 = 400 beschrieben werden. Dabei sind alle Angaben in m.
a) Bestimme den Punkt S\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S, an dem der Schatten der Tanne endet.
b) Berechne die Länge des Schattens.

a) Der Weg der Sonnenstrahlen, die zum Ende des Schattens führen, lassen sich mit einer Geraden beschreiben. Dabei dient der Ortsvektor der Tannenspitze als Stützvektor und die Richtung der Sonnenstrahlen als Richtungsvektor:
g ⁣:x→=( 25100130)+r ⋅( 3-4-7)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 25\\100\\130\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 3\\\text{-}4\\\text{-}7\end{array} \right)

Der Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene, die den Hang beschreibt, ist der Punkt S\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S, an dem der Schatten endet:

S(55∣60∣60)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S(55|60|60)

b) Der Schatten beginnt am Fußpunkt der Tanne und endet im Punkt S\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S. Der Fußpunkt der Tanne lässt sich als Schnittpunkt einer Geraden mit der Ebene bestimmen. Dabei wird als Stützvektor erneut der Ortsvektor der Tannenspitze verwendet. Als Richtungsvektor wird ein Vektor eingesetzt, der nur in x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_3-Richtung verläuft, da die Tanne gerade nach oben gewachsen ist. Die Geradengleichung lautet:
h ⁣:x→=( 25100130)+s ⋅( 001)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 25\\100\\130\end{array} \right) + s\ · \left( \begin{array}{r} \ 0\\0\\1\end{array} \right)

Als Fußpunkt der Tanne ergibt sich Q(25∣100∣100)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Q(25|100|100). Somit lässt sich der Schatten mit dem Vektor QS→=( 55−2560−10060−100)=( 30-40-40)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{QS} = \left( \begin{array}{l} \ 55-25\\60-100\\60-100\end{array} \right)=\left( \begin{array}{r} \ 30\\\text{-}40\\\text{-}40\end{array} \right) beschreiben.

Die Länge des Schattens ist der Betrag des Vektors QS→\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{QS}:
∣QS→∣=302+(-40)2+(-40)2≈64 m\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} |\overrightarrow{QS}|= \sqrt{30^2 + (\text{-}40)^2+(\text{-}40)^2}≈64\ m

Der Schatten ist etwa 64 m lang.
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