TitelGeradengleichungen
AutorMNWeG
veröffentlicht04.02.2022
FachMathematik
KompetenzbereichVektoren
Phase12
SozialformEinzelarbeit
MaterialformArbeitsblatt

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Reflektionsfragen

Bevor du mit den Aufgaben beginnst, solltest du kurz über die folgenden Fragen nachdenken. Wenn du zu einer Frage keine Idee hast, lies noch einmal in der INFO nach.

$\Rightarrow$ Welche beiden Vektoren werden zum Aufstellen einer Geradengleichung benötigt?

$\Rightarrow$ Welcher Punkt wird erreicht, wenn in die Gerade $g : x = a + r \cdot A B$ für $r = 1$ eingesetzt wird?

$\Rightarrow$ Wie lässt sich prüfen, ob zwei Vektoren linear abhängig sind?

$\Rightarrow$ Was bedeutet es, wenn zwei Geraden windschief zueinander liegen?

... und noch etwas ist Voraussetzung zur Bearbeitung der Aufgaben: Das sichere Lösen von linearen Gleichungssystemen (LGS). Wenn du Schwierigkeiten beim Beantworten der folgenden Fragen hast, solltest du das Thema wiederholen, bevor du mit diesen Aufgaben startest.

$\Rightarrow$ Was muss beachtet werden, wenn ein LGS drei Gleichungen, aber nur zwei Parameter hat?

$\Rightarrow$ Was bedeutet es, wenn beim Lösen eines LGS eine Zeile einen Widerspruch wie 3 = 4 enthält?

Verbinde Vektoren miteinander, die linear abhängig sind.

$(63)$
$(41)$
$(- 1 - 4)$
$630$
$1 - 2 3$
$2 2, 5 3$

$(0, 25 1)$
$456$
$(21)$
$210$
$(- 4 - 1)$
$- 2 4 - 6$

Durch die Punkte

A (2∣0∣ - 2)

und

B (1∣2∣0)

soll eine Gerade gelegt werden. Markiere alle Geradengleichungen, die diese Gerade beschreiben.

Gib drei Punkte an, die auf der Geraden

h

liegen. Beschreibe dein Vorgehen.

h : x = 31 - 1 + r \cdot - 1 21

Jeweils drei der vier Punkte liegen auf einer Geraden. Untersuche, welcher der Punkte nicht auf der Geraden liegt. Nutze für die Berechnungen dein Heft.

a)

A (1∣3∣5)

B (- 2∣6∣9)

C (0∣4∣7)

D (2∣2∣3)

A (1∣2∣ - 3)

B (- 2∣1∣0)

C (4∣3∣ - 2)

D (7∣4∣ - 3)

Ermittle, wie die beiden Geraden zueinander liegen. Gib gegebenfalls den Schnittpunkt an. Nutze für die Berechnungen dein Heft.

a)

g : x = 102 + r \cdot 11 - 1

;

h : x = 432 + s \cdot 112

g : x = 1 - 1 0 + r \cdot 14 - 8

;

h : x = 23 - 8 + s \cdot - 0, 5 - 2 4

g : x = 20 - 1 + r \cdot 113

;

h : x = 314 + s \cdot 311

g : x = - 3 17 + r \cdot 14 - 3

;

h : x = - 4 - 3 4 + s \cdot 28 - 6

Manchmal lässt sich auf einen Blick erkennen, wie zwei Geraden zueinander liegen. Untersuche die Lagebeziehungen der Geraden ohne schriftliche Rechnung.

a)

g : x = 12 - 1 + r \cdot 100

;

h : x = 12 - 1 + s \cdot 001

g : x = 111 + r \cdot 111

;

h : x = 123 + s \cdot 111

Jonathan möchte die Lagebeziehung der Geraden

g

und

h

untersuchen. Bei der Rechnung ist ihm jedoch ein Fehler unterlaufen. Prüfe seinen Rechenweg und korrigiere seinen Fehler.

g : x = 342 + s \cdot 2 - 1 1

;

h : x = 1 - 2 0 + s \cdot 322

Sind die Richtungsvektoren der Geraden linear abhängig?

$2 - 1 1 \neq = k \cdot 322$

Die Richtungsvektoren sind nicht linear abhängig.

Haben die Geraden einen Schnittpunkt?

$342 + s \cdot 2 - 1 1 = 1 - 2 0 + s \cdot 322$

$I . I I . I I I . 3 + 2 s 4 - 1 s 2 + 1 s = = = 1 - 2 0 + + + 3 s 2 s 2 s ∣ - 2 s - 1 ∣ + 1 s + 2 ∣ - 1 s$

$I . I I . I I I . 262 = = = 1 s 3 s 1 s ∣ : 3$

$I . I I . I I I . 222 = = = s s s$

$s = 342 + 2 \cdot 2 - 1 1 = 342 + 4 - 2 2 = 724$

Die Geraden schneiden sich im Punkt $S (7∣2∣4)$ .