Untersuchung von Punkt $A$



Um zu prüfen, ob der Punkt $A$ auf der Geraden liegt, wird der Ortsvektor $\overrightarrow{a}$ in die Geradengleichung für den Vektor $\overrightarrow{x}$ eingesetzt:



$\left(\begin{array}{r}2\\ \text{-}2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \text{-}2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{r}2\\ \text{-}4\\ 6\end{array}\right)$



Es ergibt sich ein LGS mit drei Gleichungen und einer Variablen. Alle Gleichungen werden nach der Variablen aufgelöst:



$\begin{array}{rlrlrlrl}I.& & 2& =& 1& +& 2r& |-1\\ II.& & \text{-}2& =& 0& -& 4r& \\ III.& & 1& =& \text{-}2& +& 6r& |+2\end{array}$



$\begin{array}{rlrlrlrl}I.& & 1& =& & & 2r& |:2\\ II.& & \text{-}2& =& & & \text{-}4r& |:(\text{-}4)\\ III.& & 3& =& & & 6r& |:6\end{array}$



$\begin{array}{rlrlrlrl}I.& & 0,5& =& & & r& \\ II.& & 0,5& =& & & r& \\ III.& & 0,5& =& & & r& \end{array}$



Da sich in allen drei Gleichungen der gleiche Wert für $r$ ergibt, ist das LGS eindeutig lösbar. Der Punkt $A$ liegt auf der Geraden $g$.

Untersuchung von Punkt $B$



Um zu prüfen, ob der Punkt $B$ auf der Geraden liegt, wird der Ortsvektor $\overrightarrow{b}$ in die Geradengleichung für den Vektor $\overrightarrow{x}$ eingesetzt:



$\left(\begin{array}{r}5\\ \text{-}12\\ 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \text{-}2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{r}2\\ \text{-}4\\ 6\end{array}\right)$



Wie schon bei der Untersuchung von Punkt $A$ ergibt sich wieder ein LGS mit drei Gleichungen und einer Variablen. Alle Gleichungen werden nach der Variablen aufgelöst:



$\begin{array}{rlrlrlrl}I.& & 5& =& 1& +& 2r& |-1\\ II.& & \text{-}12& =& 0& -& 4r& \\ III.& & 10& =& \text{-}2& +& 6r& |+2\end{array}$



$\begin{array}{rlrlrlrl}I.& & 4& =& & & 2r& |:2\\ II.& & \text{-}12& =& & & \text{-}4r& |:(\text{-}4)\\ III.& & 12& =& & & 6r& |:6\end{array}$



$\begin{array}{rlrlrlrl}I.& & 2& =& & & r& \\ II.& & 3& =& & & r& \\ III.& & 2& =& & & r& \end{array}$



Der Wert in der zweiten Gleichung weicht von den beiden anderen Werten ab. Das LGS hat eine leere Lösungsmenge. Somit liegt der Punkt $B$ nicht auf der Geraden.

a) Untersuchung der Geraden $h$



Laut Schema ist der erste Schritt bei der Untersuchung von Lagebeziehungen die Prüfung, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Dafür wird untersucht, ob es einen Faktor $k$ gibt, mit dem sich der eine Richtungsvektor in den anderen überführen lässt.



$\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)=k\cdot \left(\begin{array}{r}2\\ 0\\ 6\end{array}\right)$



$k=0,5$



Die Richtungsvektoren sind linear abhängig. Daher geht es im Schema auf der linken Seite weiter. Um zu prüfen, ob ein Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt, wird eine Punktprobe durchgeführt. Dafür wird der Stützvektor der ersten Geraden mit der zweiten Geraden gleichgesetzt:



$\left(\begin{array}{r}2\\ 1\\ \text{-}3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}4\\ 1\\ 3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{r}2\\ 0\\ 6\end{array}\right)$



$s=\text{-}2$



Die Punktprobe ist positiv.

Die beiden Geraden sind identisch.



b) Untersuchung der Geraden $i$

Wie schon bei a) gezeigt, sind die Richtungsvektoren linear abhängig.



$\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)=k\cdot \left(\begin{array}{r}2\\ 0\\ 6\end{array}\right)$



Nun wird auch hier eine Punktprobe durchgeführt:



$\left(\begin{array}{r}2\\ 1\\ \text{-}3\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{r}3\\ 2\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{r}2\\ 0\\ 6\end{array}\right)$



Nach Umwandlung der Vektorgleichung in ein LGS ergibt sich ein Widerspruch beim Lösen des LGS. Die Punktprobe ist negativ.



Die beiden Geraden sind parallel.



c) Untersuchung der Geraden $j$

Im ersten Schritt wird wieder untersucht, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind:



$\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)\ne k\cdot \left(\begin{array}{r}3\\ 1\\ 1\end{array}\right)$



Da kein Wert für $k$ gefunden wird, geht es auf der rechten Seite des Schemas weiter. Der nächste Schritt ist die Untersuchung, ob die Geraden sich schneiden. Dafür werden die beiden Geradengleichungen gleichgesetzt:



$\left(\begin{array}{r}2\\ 1\\ \text{-}3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}6\\ 1\\ 9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{r}3\\ 1\\ 1\end{array}\right)$



$r=4;s=0$



Die beiden Geraden haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.



Fortsetzung von Teilaufgabe c)



Der Schnittpunkt der Geraden lässt sich bestimmen, indem entweder $r$ oder $s$ in die zugehörige Gerade eingesetzt wird. In beiden Fällen ergibt sich der gleiche Schnittpunkt. Hier wird $r$ in die Gerade $g$ eingesetzt:



$\overrightarrow{s}=\left(\begin{array}{r}2\\ 1\\ \text{-}3\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}2\\ 1\\ \text{-}3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{r}4\\ 0\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}6\\ 1\\ 9\end{array}\right)$



$S(6|1|9)$

d) Untersuchung der Geraden $k$

Im ersten Schritt wird wieder untersucht, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind:



$\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)\ne k\cdot \left(\begin{array}{r}3\\ 1\\ 1\end{array}\right)$



Wie schon bei c) gezeigt, sind die Richtungsvektoren linear unabhängig. Somit wird geprüft, ob es einen Schnittpunkt gibt, indem die Geraden gleichgesetzt werden:



$\left(\begin{array}{r}2\\ 1\\ \text{-}3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{r}6\\ 2\\ 9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{r}3\\ 1\\ 1\end{array}\right)$







Die beiden Geraden haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt, sie sind windschief.