• Geradengleichungen
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  • 04.02.2022
  • Mathematik
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Reflektionsfragen

Bevor du mit den Aufgaben beginnst, solltest du kurz über die folgenden Fragen nachdenken. Wenn du zu einer Frage keine Idee hast, lies noch einmal in der INFO nach.


\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \rArr Welche beiden Vektoren werden zum Aufstellen einer Geradengleichung benötigt?
\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \rArr Welcher Punkt wird erreicht, wenn in die Gerade g ⁣:x=a+r AB\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + r\ · \overrightarrow{AB} für r=1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} r = 1 eingesetzt wird?
\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \rArr Wie lässt sich prüfen, ob zwei Vektoren linear abhängig sind?
\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \rArr Was bedeutet es, wenn zwei Geraden windschief zueinander liegen?

... und noch etwas ist Voraussetzung zur Bearbeitung der Aufgaben: Das sichere Lösen von linearen Gleichungssystemen (LGS). Wenn du Schwierigkeiten beim Beantworten der folgenden Fragen hast, solltest du das Thema wiederholen, bevor du mit diesen Aufgaben startest.


\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \rArr Was muss beachtet werden, wenn ein LGS drei Gleichungen, aber nur zwei Parameter hat?
\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \rArr Was bedeutet es, wenn beim Lösen eines LGS eine Zeile einen Widerspruch wie 3 = 4 enthält?

1
Verbinde Vektoren miteinander, die linear abhängig sind.
  • ( 63)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \ 6\\3\end{array} \right)
    1
  • ( 41)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \ 4\\1\end{array} \right)
    2
  • ( -1-4)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \ \text{-}1\\\text{-}4\end{array} \right)
    3
  • ( 630)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \ 6\\3\\0\end{array} \right)
    4
  • ( 1-23)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \ 1\\\text{-}2\\3\end{array} \right)
    5
  • ( 22,53)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \ 2\\2{,}5\\3\end{array} \right)
    6
  • 3
    ( 0,251)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \ 0{,}25\\1\end{array} \right)
  • 6
    ( 456)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \ 4\\5\\6\end{array} \right)
  • 1
    ( 21)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \ 2\\1\end{array} \right)
  • 4
    ( 210)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \ 2\\1\\0\end{array} \right)
  • 2
    ( -4-1)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \ \text{-}4\\\text{-}1\end{array} \right)
  • 5
    (-24-6)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \text{-}2 \\4\\\text{-}6\end{array} \right)
2
Durch die Punkte A(20-2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A (2|0|\text{-}2) und B(120)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} B (1|2|0) soll eine Gerade gelegt werden. Markiere alle Geradengleichungen, die diese Gerade beschreiben.
  • g ⁣:x=( 20-2)+r ( 120)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 2\\0\\\text{-}2\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\2\\0\end{array} \right)
  • g ⁣:x=( 20-2)+r ( -122)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 2\\0\\\text{-}2\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}1\\2\\2\end{array} \right)
  • g ⁣:x=( 120)+r ( 20-2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\2\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 2\\0\\\text{-}2\end{array} \right)
  • g ⁣:x=( 120)+r ( -122)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\2\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}1\\2\\2\end{array} \right)
  • g ⁣:x=( 120)+r ( 1-2-2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\2\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\\text{-}2\\\text{-}2\end{array} \right)
3
Gib drei Punkte an, die auf der Geraden h\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h liegen. Beschreibe dein Vorgehen.

h ⁣:x=( 31-1)+r ( -121)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 3\\1\\\text{-}1\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}1\\2\\1\end{array} \right)
z. B. A(31-1)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A (3|1|\text{-}1), B(230)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} B (2|3|0) und C(151)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} C (1|5|1)
Um Punkte zu bestimmen, werden beliebige Werte für r\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} r eingesetzt. Die Punkte A\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A, B\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} B und C\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} C ergeben sich für r=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} r=0, r=1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} r=1 und r=2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} r=2.
4
Jeweils drei der vier Punkte liegen auf einer Geraden. Untersuche, welcher der Punkte nicht auf der Geraden liegt. Nutze für die Berechnungen dein Heft.

a) A(135)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A (1|3|5), B(-269)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} B (\text{-}2|6|9), C(047)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} C (0|4|7), D(223)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} D (2|2|3)

b) A(12-3)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A (1|2|\text{-}3), B(-210)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} B (\text{-}2|1|0), C(43-2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} C (4|3|\text{-}2), D(74-3)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} D (7|4|\text{-}3)
a) B\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} B liegt nicht auf der Geraden.
b) A\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A liegt nicht auf der Geraden.
5
Ermittle, wie die beiden Geraden zueinander liegen. Gib gegebenfalls den Schnittpunkt an. Nutze für die Berechnungen dein Heft.

a) g ⁣:x=( 102)+r ( 11-1)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\0\\2\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\1\\\text{-}1\end{array} \right);  h:x=( 432)+s ( 112)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \ h: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 4\\3\\2\end{array} \right) + s\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\1\\2\end{array} \right)

b) g ⁣:x=( 1-10)+r ( 14-8)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\\text{-}1\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\4\\\text{-}8\end{array} \right);  h:x=( 23-8)+s ( -0,5-24)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \ h: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 2\\3\\\text{-}8\end{array} \right) + s\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}0{,}5\\\text{-}2\\4\end{array} \right)

c) g ⁣:x=( 20-1)+r ( 113)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 2\\0\\\text{-}1\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\1\\3\end{array} \right);  h:x=( 314)+s ( 311)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \ h: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 3\\1\\4\end{array} \right) + s\ · \left( \begin{array}{r} \ 3\\1\\1\end{array} \right)

d) g ⁣:x=( -317)+r ( 14-3)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ \text{-}3\\1\\7\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\4\\\text{-}3\end{array} \right);  h:x=( -4-34)+s ( 28-6)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \ h: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ \text{-}4\\\text{-}3\\4\end{array} \right) + s\ · \left( \begin{array}{r} \ 2\\8\\\text{-}6\end{array} \right)

a) Die Geraden schneiden sich in dem Punkt S(320)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S (3|2|0), r=2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} r = 2, s=-1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} s=\text{-}1
b) Die Geraden sind identisch.
c) Die Geraden sind windschief zueinander.
d) Die Geraden verlaufen echt parallel.
6
Manchmal lässt sich auf einen Blick erkennen, wie zwei Geraden zueinander liegen. Untersuche die Lagebeziehungen der Geraden ohne schriftliche Rechnung.

a) g ⁣:x=( 12-1)+r ( 100)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\2\\\text{-}1\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\0\\0\end{array} \right);  h ⁣:x=( 12-1)+s ( 001)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \ h\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\2\\\text{-}1\end{array} \right) + s\ · \left( \begin{array}{r} \ 0\\0\\1\end{array} \right)

b) g ⁣:x=( 111)+r ( 111)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\1\\1\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\1\\1\end{array} \right);  h ⁣:x=( 123)+s ( 111)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \ h\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\2\\3\end{array} \right) + s\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\1\\1\end{array} \right)
a) Die Geraden schneiden sich im Punkt S(12-1)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S(1|2|\text{-}1).
b) Die Geraden verlaufen echt parallel.
7
Jonathan möchte die Lagebeziehung der Geraden g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g und h\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h untersuchen. Bei der Rechnung ist ihm jedoch ein Fehler unterlaufen. Prüfe seinen Rechenweg und korrigiere seinen Fehler.

g ⁣:x=( 342)+s ( 2-11)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 3\\4\\2\end{array} \right) + s\ · \left( \begin{array}{r} \ 2\\\text{-}1\\1\end{array} \right);  h ⁣:x=( 1-20)+s ( 322)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \ h\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\\text{-}2\\0\end{array} \right) + s\ · \left( \begin{array}{r} \ 3\\2\\2\end{array} \right)

Sind die Richtungsvektoren der Geraden linear abhängig?

( 2-11)k ( 322)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \ 2\\\text{-}1\\1\end{array} \right) ≠ k\ · \left( \begin{array}{r} \ 3\\2\\2\end{array} \right)


Die Richtungsvektoren sind nicht linear abhängig.


Haben die Geraden einen Schnittpunkt?


( 342)+s ( 2-11)=( 1-20)+s ( 322)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \ 3\\4\\2\end{array} \right) + s\ · \left( \begin{array}{r} \ 2\\\text{-}1\\1\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} \ 1\\\text{-}2\\0\end{array} \right) + s\ · \left( \begin{array}{r} \ 3\\2\\2\end{array} \right)


I.3+2s=1 +3s   2s1I ⁣I.41s=-2 +2s   +1s+2I ⁣I ⁣I.  2+1s=0 +2s   1s\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.&&3+2s&=&1 &\ +& 3s &\ \ \ |-2s-1 \\ I\!I.&&4-1s&=& \text{-}2 &\ +& 2s&\ \ \ |+1s+2\\ I\!I\!I.&\ \ &2+1s &=& 0&\ +&2s&\ \ \ |-1s\\ \end{aligned}


I.2= 1sI ⁣I. 6= 3s   :3I ⁣I ⁣I.  2= 1s\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.&&2&=& &\ & 1s\\ I\!I.&&\ 6&=& &\ & 3s&\ \ \ |:3\\ I\!I\!I.&\ \ &2 &=& &\ &1s\\ \end{aligned}


I.2= sI ⁣I. 2= sI ⁣I ⁣I.  2= s\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.&&2&=& &\ & s\\ I\!I.&&\ 2&=& &\ & s&\\ I\!I\!I.&\ \ &2 &=& &\ &s\\ \end{aligned}

s=( 342)+2 ( 2-11)=( 342)+( 4-22)=( 724)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{s} = \left( \begin{array}{r} \ 3\\4\\2\end{array} \right) + 2\ · \left( \begin{array}{r} \ 2\\\text{-}1\\1\end{array} \right)= \left( \begin{array}{r} \ 3\\4\\2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{r} \ 4\\\text{-}2\\2\end{array} \right)= \left( \begin{array}{r} \ 7\\2\\4\end{array} \right)


Die Geraden schneiden sich im Punkt S(724)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S (7|2|4).

Jonathan verwendet für beide Gleichungen den Parameter s\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} s. Somit enthält sein LGS nur eine Variable, obwohl es zwei geben müsste. Wenn er einen Parameter umbenennt, erhält er ein LGS mit leerer Lösungsmenge. Die Geraden sind windschief zueinander.