• Gleichungen (Begriffe)
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  • 13.05.2022
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Vielleicht bist du noch nie über das Wort Gleichungen gestolpert - gerechnet hast du mit ihnen aber bereits in der Grundschule. Insofern ist dieser Kompetenzbereich kein völlig neuer Bereich für dich. Du lernst nur mehr über Regeln im Umgang mit Gleichungen und dass Gleichungen auch Variablen enthalten können.


Das ist eine Gleichung:

20+x=25\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 20+x=25

Variable

In dieser Gleichung gibt es eine Variable: das x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x

20+ x =25\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 20+\ \colorbox{yellow}{x}\ =25

Variablen sind Buchstaben, für die genau ein Wert, manchmal aber auch mehrere, verschiedene Werte eingesetzt werden können.
In dieser einfachen Gleichung ist sehr schnell klar: x=5\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x=5
Zur Kontrolle kann man das x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x durch 5\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 5 ersetzen und berechnen:

20+ x =25fu¨r x=520+ 5 =2525=25\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} 20+\ \colorbox{yellow}{x}\ &=25&|für\ x=5\\ 20+\ \colorbox{yellow}{5}\ &=25&\\ 25&=25 \end{aligned}

Und siehe da: setzt man für x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x die Zahl 5\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 5 ein, dann stimmt die Gleichung - denn links und rechts vom Gleichheitszeichen steht das Gleiche.

Merke

Eine Variable ist ein Platzhalter für eine Zahl (deswegen werden Variablen auch oft Platzhalter genannt). Man verwendet sie in mathematischen Ausdrücken in Form von Buchstaben.
Für Variablen kann man jeden beliebigen Wert oder jede beliebige Zahl einsetzen - ob dann das Ergebnis stimmt, kann man mit Hilfe einer Gleichung berechnen.

Term

Ein Term ist ein sinnvoller Rechenausdruck. Das kann eine einzelne Zahl, eine einzelne Variable oder eben ein Rechenausdruck mit verschiedenen Zahlen und / oder Variablen und Rechenzeichen sein.
Unsere Bespielgleichung besteht aus zwei Termen:

20 + x = 25\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \colorbox{yellow}{20\ +\ x}\ =\ \colorbox{limegreen}{25}

linker Term\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \colorbox{yellow}{linker\ Term}

rechter Term\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \colorbox{limegreen}{rechter\ Term}

Merke

Ein Term ist ein sinnvoller (also lösbarer) Rechenausdruck.
Ein Term enthält nie Gleichheitszeichen.
Eine Gleichung hat immer einen linken und einen rechten Term.

Hinweis

In diesem Materialpaket wird vor allem der Umgang mit Termen geübt. Das Rechnen mit vollständigen Gleichungen wird in Gleichungen E 7 und Gleichungen M 8 erklärt und geübt.

Gleichung

Eine Gleichung ist das Ergebnis aller oben genannten Punkte:

1. Gleichungen haben oft (aber nicht immer) Variablen.
2. Gleichungen haben zwei Terme (links und rechts vom Gleichheitszeichen).
3. Der Linke und der Rechte Term werden durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden.

20 + x = 25\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \colorbox{yellow}{20\ +\ \boxed{x}}\ \colorbox{salmon}{=}\ \colorbox{limegreen}{25}

linker Term\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \colorbox{yellow}{linker\ Term}

Variable\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \boxed{Variable}

Gleichheitszeichen\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \colorbox{salmon}{Gleichheitszeichen}

rechter Term\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \colorbox{limegreen}{rechter\ Term}

Merke

Eine Gleichung ist ein mathematischer Ausdruck, bestehend aus zwei Termen, die durch das Gleichheitszeichen verbunden sind.
Terme können Variablen enthalten.
Die beiden Terme heißen linke bzw. rechte Seite der Gleichung.