• Herleitung der Zinseszinsformel
  • MNWeG
  • 10.03.2021
  • Mathematik
  • Prozente und Zinsen
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  • Einzelarbeit
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Begriffe

K0 = Kapital zu Beginn des ersten Jahres
p% = Jahreszinssatz in Prozent (bei Rechnung jedoch ohne Prozentzeichen!)
n = Anzahl der Jahre, für die das Kapital verzinst wird
1
Legt man ein Kapital (K0) für einen Jahreszinssatz (p) auf der Bank an, so erhält man folgende Zinsen (Z). Ausgedrückt in einer Formel bedeutet dies:
Z=K0p100\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} Z= K_0\cdot \frac{p}{100}
Beispiel:
Z=100,002100\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} Z= 100{,}00\,€\,\cdot \frac{2}{100}
Z=2,00\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} Z= 2{,}00\,€
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Man erhält somit 2 € Zinsen nach einem Jahr. Insgesamt hast du also:
K1=K0+K0p100\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_1= K_0+ K_0\cdot \frac{p}{100}
K1=K0(1+p100)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_1= K_0\cdot (1+ \frac{p}{100})
Beispiel:
K1=100,00+100,002100\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_1= 100{,}00\,€\,+ 100{,}00\,€\,\cdot \frac{2}{100}
K1=100,00(1+2100)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_1= 100{,}00\,€\,\cdot (1+\frac{2}{100})
K1=102,00\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_1= 102{,}00\,€\,
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Nun das gleiche für das nächste Jahr (jetzt hast du schon 102€ Kapital zu Beginn des 2. Jahres):
K2=K1(1+p100)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_2= K_1\cdot (1+ \frac{p}{100})
Beispiel:
K2=102,00(1+2100)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_2= 102{,}00\,€\,\cdot (1+\frac{2}{100})
K2=104,04\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_2= 104{,}04\,€
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Jetzt setzen wir für K1 die Formel aus Schritt 2 ein. Demnach gilt:
K2=K1(1+p100)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_2= K_1\cdot (1+\frac{p}{100})
K2=K(1+p100)(1+p100)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_2= K\cdot (1+\frac{p}{100})\cdot (1+\frac{p}{100})
Beispiel:
K2=102,00(1+2100)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_2= 102{,}00\,€\,\cdot (1+\frac{2}{100})
K2=100,00(1+2100)(1+2100)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_2= 100{,}00\,€\,\cdot (1+\frac{2}{100})\cdot (1+\frac{2}{100})
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Dies kann man für beliebige Folgejahre fortsetzen:
K3=K0(1+p100)(1+p100)(1+p100)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_3= K_0\cdot (1+\frac{p}{100})\cdot (1+\frac{p}{100})\cdot (1+\frac{p}{100})
K3=K0(1+p100)3\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_3= K_0\cdot (1+\frac{p}{100})^{3}
Beispiel:
K3=100,00(1+2100)3\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_3= 100{,}00\,€\,\cdot (1+\frac{2}{100})^{3}
K3=106,12\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_3= 106{,}12\,€\,
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Vereinfacht ausgedrückt ergibt sich folgende allgemeingültige Formel für n-Jahre:

Kn=K0(1+p100)n\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_n= K_0\cdot (1+\frac{p}{100})^{n}