TitelHerleitung der Zinseszinsformel
AutorMNWeG
veröffentlicht17.04.2024
FachMathematik
KompetenzbereichProzente und Zinsen
NiveaustufeE (Expertenstandard)
Phase9
SozialformEinzelarbeit
MaterialformInformation

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Begriffe

K₀ = Kapital zu Beginn des ersten Jahres
p% = Jahreszinssatz in Prozent (bei Rechnung jedoch ohne Prozentzeichen!)
n = Anzahl der Jahre, für die das Kapital verzinst wird

Legt man ein Kapital (K₀) für einen Jahreszinssatz (p) auf der Bank an, so erhält man folgende Zinsen (Z). Ausgedrückt in einer Formel bedeutet dies:

Z = K_{0} \cdot \frac{p}{100}

Beispiel:

Z = 100, 00 € \cdot \frac{2}{100}

Z = 2, 00 €

Man erhält somit 2 € Zinsen nach einem Jahr. Insgesamt hast du also:

K_{1} = K_{0} + K_{0} \cdot \frac{p}{100}

K_{1} = K_{0} \cdot (1 + \frac{p}{100})

Beispiel:

K_{1} = 100, 00 € + 100, 00 € \cdot \frac{2}{100}

K_{1} = 100, 00 € \cdot (1 + \frac{2}{100})

K_{1} = 102, 00 €

Nun das gleiche für das nächste Jahr (jetzt hast du schon 102€ Kapital zu Beginn des 2. Jahres):

K_{2} = K_{1} \cdot (1 + \frac{p}{100})

Beispiel:

K_{2} = 102, 00 € \cdot (1 + \frac{2}{100})

K_{2} = 104, 04 €

Jetzt setzen wir für K₁ die Formel aus Schritt 2 ein. Demnach gilt:

K_{2} = K_{1} \cdot (1 + \frac{p}{100})

K_{2} = K \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p}{100})

Beispiel:

K_{2} = 102, 00 € \cdot (1 + \frac{2}{100})

K_{2} = 100, 00 € \cdot (1 + \frac{2}{100}) \cdot (1 + \frac{2}{100})

Dies kann man für beliebige Folgejahre fortsetzen:

K_{3} = K_{0} \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p}{100})

K_{3} = K_{0} \cdot (1 + \frac{p}{100})^{3}

Beispiel:

K_{3} = 100, 00 € \cdot (1 + \frac{2}{100})^{3}

K_{3} = 106, 12 €

Vereinfacht ausgedrückt ergibt sich folgende allgemeingültige Formel für n-Jahre:

K_{n} = K_{0} \cdot (1 + \frac{p}{100})^{n}